Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas: a função integranda é
multiplicada por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outros dados nem condições de contorno; no final devemos acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Escolher uma substituição apropriada. Aqui é natural olhar para a parte interna do cosseno, que é
. A técnica de substituição consiste em definir uma nova variável
igual àquela função interna, para simplificar a integral. Então faço a substituição
Agora calculemos a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
e multiplicando por
obtemos
Isso nos diz que
Explicação didática: a ideia é substituir toda a expressão em
por
e trocar
por algo em
. Vê-se que o fator
aparece naturalmente na igualdade acima, então a substituição vai eliminar o
e o
deixando uma integral em
mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição na integral original. Substituindo
e
obtemos
Fatorando a constante fora da integral:
Aqui usei a propriedade básica de integrais que permite tirar constantes multiplicativas para fora.
Passo 4
Integrar em
. A antiderivada conhecida de
é
, pois
. Portanto
Agora voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado para conferir que volta ao integrando. Usando a regra da cadeia, se
então
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.