Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int x \cdot \cos \left(3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \cdot \cos\left(3 x^{2}\right)\, d x.
Informações relevantes dadas: a função integranda é x multiplicada por \cos(3x^{2}). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\cos(3x^{2}). Não há outros dados nem condições de contorno; no final devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma substituição apropriada. Aqui é natural olhar para a parte interna do cosseno, que é 3x^{2}. A técnica de substituição consiste em definir uma nova variável u igual àquela função interna, para simplificar a integral. Então faço a substituição
u = 3x^{2}.
Agora calculemos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x e multiplicando por dx obtemos
du = \frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)\,dx = 6x\,dx.
Isso nos diz que
x\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Explicação didática: a ideia é substituir toda a expressão em x por u e trocar dx por algo em du. Vê-se que o fator x\,dx aparece naturalmente na igualdade acima, então a substituição vai eliminar o x e o dx deixando uma integral em u mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição na integral original. Substituindo u=3x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{6}\,du obtemos
\int x\cos\big(3x^{2}\big)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{1}{6}\,du.
Fatorando a constante fora da integral:
\int x\cos\big(3x^{2}\big)\,dx = \frac{1}{6}\int \cos(u)\,du.
Aqui usei a propriedade básica de integrais que permite tirar constantes multiplicativas para fora.

Passo 4

Integrar em u. A antiderivada conhecida de \cos(u) é \sin(u), pois \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto
\frac{1}{6}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{6}\sin(u)+C.
Agora voltamos à variável original x substituindo u=3x^{2}:
\frac{1}{6}\sin(u)+C = \frac{1}{6}\sin\big(3x^{2}\big)+C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado para conferir que volta ao integrando. Usando a regra da cadeia, se F(x)=\dfrac{1}{6}\sin(3x^{2}) então
F'(x)=\frac{1}{6}\cos(3x^{2})\cdot\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=\frac{1}{6}\cos(3x^{2})\cdot 6x = x\cos(3x^{2}),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{6}\sin\big(3x^{2}\big)+C

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