Questão 23. Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede que a solução seja expressa em função de uma convolução. Dados fornecidos:
- Equação:
- Condições iniciais:
Pergunta: expressar a solução
do problema de valor inicial em função de uma convolução (ou seja, apresentar a parte forçada como uma convolução envolvendo a resposta ao impulso do operador e a entrada
).
Passo 2
Introdução breve das ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda): a transformada de Laplace e o teorema da convolução são formas práticas de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica e voltar ao domínio do tempo com convoluções. A transformada de Laplace de uma função
é
e a convolução entre duas funções causais
e
é definida por
O teorema da convolução afirma que
Esses fatos permitem escrever a solução de um sistema linear com coeficientes constantes como soma da resposta devida às condições iniciais e da resposta devida à entrada via convolução com a resposta ao impulso.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Usando as fórmulas
temos
Substituindo as condições iniciais
,
obtemos o lado esquerdo transformado:
O lado direito é
. Igualando,
Passo 4
Resolver para
. Isolando
,
Agora identificamos a estrutura: escrevemos
como soma de uma parte que depende só das condições iniciais e de uma parte que é o produto da transformada da entrada
por a função de transferência do sistema
. Em outras palavras,
onde
Passo 5
Encontrar a resposta ao impulso
. Primeiro fatoramos o denominador:
Fazendo frações parciais para
, procuramos
tais que
Multiplicando e igualando coeficientes chega-se a
,
. Assim
Aplicando a transformada inversa obtemos a resposta ao impulso
Passo 6
Calcular a parte devido às condições iniciais no domínio do tempo. Temos
Decompondo em frações parciais
, resolvendo:
Assim
e pela transformada inversa
Esta é a resposta zero-entrada (a resposta à parte “inicial” do sistema).
Passo 7
Usar o teorema da convolução para escrever a parte forçada como convolução. Já vimos que a parte forçada em
é
, com
. Aplicando a transformada inversa e o teorema da convolução obtemos a resposta zero-estado
Substituindo
,
Passo 8
Juntar as duas partes (condições iniciais + parte forçada) para obter a solução completa. Portanto
Esta é a expressão pedida: a solução do problema de valor inicial escrita em função de uma convolução (a integral é exatamente
com
).