Questão 23. Nos problemas de 1 a 8, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\cos \alpha t ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais e pede que a solução seja expressa em função de uma convolução. Dados fornecidos:
  • Equação: y''+3y'+2y=\cos\alpha t.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Pergunta: expressar a solução y(t) do problema de valor inicial em função de uma convolução (ou seja, apresentar a parte forçada como uma convolução envolvendo a resposta ao impulso do operador e a entrada \cos\alpha t).

Passo 2

Introdução breve das ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda): a transformada de Laplace e o teorema da convolução são formas práticas de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica e voltar ao domínio do tempo com convoluções. A transformada de Laplace de uma função y(t) é
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt,
e a convolução entre duas funções causais f e g é definida por
(f*g)(t)=\int_0^{t}f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.
O teorema da convolução afirma que
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\,\mathcal{L}\{g\}(s).
Esses fatos permitem escrever a solução de um sistema linear com coeficientes constantes como soma da resposta devida às condições iniciais e da resposta devida à entrada via convolução com a resposta ao impulso.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Usando as fórmulas
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0), \qquad \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
temos
\mathcal{L}\{y''+3y'+2y\}(s)=(s^{2}+3s+2)Y(s)-\big(s y(0)+y'(0)+3y(0)\big).
Substituindo as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0 obtemos o lado esquerdo transformado:
(s^{2}+3s+2)Y(s)-(s+3).
O lado direito é \mathcal{L}\{\cos\alpha t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+\alpha^{2}}. Igualando,
(s^{2}+3s+2)Y(s)-(s+3)=\frac{s}{s^{2}+\alpha^{2}}.

Passo 4

Resolver para Y(s). Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}+\frac{s}{(s^{2}+\alpha^{2})(s^{2}+3s+2)}.
Agora identificamos a estrutura: escrevemos Y(s) como soma de uma parte que depende só das condições iniciais e de uma parte que é o produto da transformada da entrada \dfrac{s}{s^{2}+\alpha^{2}} por a função de transferência do sistema H(s)=\dfrac{1}{s^{2}+3s+2}. Em outras palavras,
Y(s)=Y_{\text{IC}}(s)+H(s)\,F(s),
onde
Y_{\text{IC}}(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}, \qquad H(s)=\frac{1}{s^{2}+3s+2}, \qquad F(s)=\frac{s}{s^{2}+\alpha^{2}}.

Passo 5

Encontrar a resposta ao impulso h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Fazendo frações parciais para H(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}, procuramos A,B tais que
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando e igualando coeficientes chega-se a A=1, B=-1. Assim
H(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Aplicando a transformada inversa obtemos a resposta ao impulso
h(t)=e^{-t}-e^{-2t}\qquad (t\ge 0).

Passo 6

Calcular a parte devido às condições iniciais no domínio do tempo. Temos
Y_{\text{IC}}(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.
Decompondo em frações parciais \dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}, resolvendo:
A+B=1,\qquad 2A+B=3 \\ \Rightarrow\\ A=2,\\ B=-1.
Assim
Y_{\text{IC}}(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2},
e pela transformada inversa
y_{\text{IC}}(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.
Esta é a resposta zero-entrada (a resposta à parte “inicial” do sistema).

Passo 7

Usar o teorema da convolução para escrever a parte forçada como convolução. Já vimos que a parte forçada em Y(s) é H(s)F(s), com F(s)=\mathcal{L}\{\cos\alpha t\}. Aplicando a transformada inversa e o teorema da convolução obtemos a resposta zero-estado
y_{\text{ZS}}(t)=(h * \cos\alpha\cdot)(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\cos(\alpha \tau)\,d\tau.
Substituindo h,
y_{\text{ZS}}(t)=\int_{0}^{t}\big(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\big)\cos(\alpha \tau)\,d\tau.

Passo 8

Juntar as duas partes (condições iniciais + parte forçada) para obter a solução completa. Portanto
y(t)=y_{\text{IC}}(t)+y_{\text{ZS}}(t) =2e^{-t}-e^{-2t}+\int_{0}^{t}\big(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\big)\cos(\alpha \tau)\,d\tau.
Esta é a expressão pedida: a solução do problema de valor inicial escrita em função de uma convolução (a integral é exatamente (h*\cos\alpha)(t) com h(t)=e^{-t}-e^{-2t}).

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}+\displaystyle\int_{0}^{t}\big(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\big)\cos(\alpha \tau)\,d\tau

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