Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que
da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Pede duas coisas, em ordem:
- Usando a analogia massa-mola, prever o comportamento da solução quando
. - Confirmar a previsão resolvendo explicitamente o problema e apresentar a solução.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- Há condições iniciais para
e em .
Passo 2
Explicando a analogia massa-mola de forma simples (aula rápida e concreta).
- O modelo massa-mola-amortecimento padrão é
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento (dissipação) e
a constante elástica da mola.
- Interpretação física dos sinais:
- Se
: amortecimento (perda de energia) — tende a estabilizar (decair). - Se
: amortecimento negativo (injeção de energia) — tende a instabilizar. - Se
: mola normal (força restauradora) — tende a estabilidade em torno do equilíbrio. - Se
: mola invertida (força que afasta do equilíbrio) — tende a instabilidade.
- Se
- Matematicamente, o comportamento a longo prazo é determinado pelas raízes da equação característica
Se existir alguma raiz com parte real positiva, a solução contém um termo que cresce exponencialmente (instável). Se todas as partes reais forem negativas, a solução tende a zero (estável). Se houver partes reais nulas ou positivas, pode haver oscilações sustentadas ou crescimento.
Passo 3
Aplicando a analogia ao nosso problema: comparar
com
.
- Aqui
, e . - Interpretação pela analogia:
-
significa amortecimento negativo — tende a aumentar a energia do sistema. -
significa “constante elástica negativa” — força que afasta do equilíbrio.
Logo, qualitativamente espera-se instabilidade e crescimento exponencial de pelo menos uma componente da solução quando.
-
Passo 4
Agora resolvemos formalmente para confirmar. Escrevemos a equação característica associada:
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
Portanto
Isso dá as duas raízes reais e distintas
Passo 5
Da teoria de equações lineares com coeficientes constantes: quando as raízes são reais distintas
, a solução geral é
Substituindo as raízes:
Passo 6
Determinar
Em seguida, derivando
:
e a condição
dá
Resolvendo o sistema linear
isolamos (C_2 = 1 - C_1] e substituímos na segunda equação:
Logo
Portanto a solução explícita é
]
Logo
Portanto a solução explícita é
Passo 7
Análise do limite quando
:
- O termo
tende a quando . - O termo
cresce exponencialmente porque .
Como há um termo exponencial com coeficiente positivo e expoente positivo, segue-se que
Isto confirma a previsão pela analogia: o sistema é instável e a solução diverge exponencialmente.
Resposta
Previsão pela analogia:
cresce exponencialmente e diverge para
quando
.
Solução exata: , que confirma
quando
.
Solução exata: