Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que t \rightarrow+\infty da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - y' - 6y = 0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
Pede duas coisas, em ordem:
  • Usando a analogia massa-mola, prever o comportamento da solução quando t\to+\infty.
  • Confirmar a previsão resolvendo explicitamente o problema e apresentar a solução.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • Há condições iniciais para y e y' em t=0.

Passo 2

Explicando a analogia massa-mola de forma simples (aula rápida e concreta).
  • O modelo massa-mola-amortecimento padrão é
m x'' + b x' + k x = 0,
onde m é a massa, b o coeficiente de amortecimento (dissipação) e k a constante elástica da mola.
  • Interpretação física dos sinais:
    • Se b>0: amortecimento (perda de energia) — tende a estabilizar (decair).
    • Se b<0: amortecimento negativo (injeção de energia) — tende a instabilizar.
    • Se k>0: mola normal (força restauradora) — tende a estabilidade em torno do equilíbrio.
    • Se k<0: mola invertida (força que afasta do equilíbrio) — tende a instabilidade.
  • Matematicamente, o comportamento a longo prazo é determinado pelas raízes da equação característica
m r^2 + b r + k = 0.
Se existir alguma raiz com parte real positiva, a solução contém um termo que cresce exponencialmente (instável). Se todas as partes reais forem negativas, a solução tende a zero (estável). Se houver partes reais nulas ou positivas, pode haver oscilações sustentadas ou crescimento.

Passo 3

Aplicando a analogia ao nosso problema: comparar y''-y'-6y=0 com m y'' + b y' + k y = 0.
  • Aqui m=1, b=-1 e k=-6.
  • Interpretação pela analogia:
    • b=-1<0 significa amortecimento negativo — tende a aumentar a energia do sistema.
    • k=-6<0 significa “constante elástica negativa” — força que afasta do equilíbrio.
      Logo, qualitativamente espera-se instabilidade e crescimento exponencial de pelo menos uma componente da solução quando t\to+\infty.

Passo 4

Agora resolvemos formalmente para confirmar. Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - r - 6 = 0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25.
Portanto
r = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}.
Isso dá as duas raízes reais e distintas
r_1 = \frac{1+5}{2} = 3,\qquad r_2 = \frac{1-5}{2} = -2.

Passo 5

Da teoria de equações lineares com coeficientes constantes: quando as raízes são reais distintas r_1,r_2, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}.
Substituindo as raízes:
y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 6

Determinar C_1\) e \(C_2\) pelas condições iniciais. Primeiro, \(y(0)=1\) dá \[C_1 + C_2 = 1.
Em seguida, derivando y:
y'(t) = 3 C_1 e^{3t} - 2 C_2 e^{-2t},
e a condição y'(0)=1
3 C_1 - 2 C_2 = 1.
Resolvendo o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] 3C_1 - 2C_2 = 1, \end{cases}
isolamos (C_2 = 1 - C_1] e substituímos na segunda equação:
3C_1 - 2(1 - C_1) = 1 \quad\Rightarrow\quad 3C_1 -2 +2C_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 5C_1 = 3.
Logo
C_1 = \frac{3}{5},\qquad C_2 = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.
Portanto a solução explícita é
y(t) = \frac{3}{5} e^{3t} + \frac{2}{5} e^{-2t}.]

Passo 7

Análise do limite quando t\to+\infty:
  • O termo \frac{2}{5} e^{-2t} tende a 0 quando t\to+\infty.
  • O termo \frac{3}{5} e^{3t} cresce exponencialmente porque 3>0.
    Como há um termo exponencial com coeficiente positivo e expoente positivo, segue-se que
y(t)\to +\infty\quad\text{quando }t\to+\infty.
Isto confirma a previsão pela analogia: o sistema é instável e a solução diverge exponencialmente.

Resposta

Previsão pela analogia: y(t) cresce exponencialmente e diverge para +\infty quando t\to+\infty.
Solução exata: y(t)=\dfrac{3}{5}e^{3t}+\dfrac{2}{5}e^{-2t}, que confirma y(t)\to+\infty quando t\to+\infty.

Exercícios relacionados