Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que t \rightarrow+\infty da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+8 y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 6y' + 8y = 0, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
As tarefas pedidas são duas, em ordem:
  • Usar a analogia massa-mola para prever o comportamento de y(t) quando t\to+\infty.
  • Confirmar a previsão resolvendo o problema e explicitando a solução y(t).
Vou listar claramente as informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+6y'+8y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
  • Pede-se comportamento assintótico ( t\to+\infty) e resolução explícita.

Passo 2

Explicando a analogia massa-mola de forma simples e intuitiva (sem pular etapas).
  • A equação clássica massa-mola amortecida é m y'' + c y' + k y = 0, onde:
    • m é a massa,
    • c é o coeficiente de amortecimento (amortecimento viscoso),
    • k é a constante elástica da mola.
  • Comparando com nossa equação, identifica-se m=1, c=6 e k=8.
  • Para classificar o comportamento usamos o discriminante associado à equação característica: \Delta = c^2 - 4mk.
    • Se \Delta<0 → complexo conjugado → resposta oscilatória amortecida (subamortecido).
    • Se \Delta=0 → raiz dupla real → crítico (amortecimento crítico).
    • Se \Delta>0 → duas raízes reais distintas negativas (quando c>0) → sistema superamortecido (overdamped): sem oscilações, retorno monótono ao equilíbrio.
  • Calculemos \Delta para os parâmetros dados: \Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot8 = 36 - 32 = 4 > 0.
Portanto, pela analogia massa-mola espera-se comportamento superamortecido: não haverá oscilações e a solução tenderá para o equilíbrio y=0 conforme t\to+\infty, decaindo exponencialmente.

Passo 3

Agora vamos confirmar resolvendo o problema passo a passo (método padrão para ED com coeficientes constantes).
  • Formamos a equação característica associada substituindo y(t)=e^{rt}: r^2 + 6r + 8 = 0.
  • Resolvendo a quadrática: o discriminante já calculado é \Delta=4. Assim r = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2}.Portanto as raízes são r_1 = -2,\qquad r_2 = -4.
  • Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da ED homogênea é y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t},onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
    Explicação curta do porquê: cada raiz r gera uma solução elementar e^{rt}; pela linearidade e independência quando as raízes são distintas, a combinação linear das duas gera a solução geral.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para encontrar C_1\) e \(C_2\). - Usar \(y(0)=1\): \[y(0) = C_1 + C_2 = 1.
  • Calcular y'(t) usando a regra da cadeia (derivada de e^{at} é a e^{at}): y'(t) = -2 C_1 e^{-2t} -4 C_2 e^{-4t}.Então y'(0)=0 y'(0) = -2 C_1 - 4 C_2 = 0.
  • Temos o sistema linear \begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] -2C_1 -4C_2 = 0. \end{cases}Simplificando a segunda equação dividindo por -2\]: \[C_1 + 2C_2 = 0.\] - Subtraindo essa equação da primeira (ou resolvendo diretamente): \((C_1+C_2)-(C_1+2C_2)=1-0 leva a -C_2=1, logo C_2 = -1.E então C_1 = 1 - C_2 = 1 - (-1) = 2.]

Passo 5

Escrever a solução explícita encontrada e verificar propriedades assintóticas.
  • Substituindo C_1 e C_2 obtemos y(t) = 2 e^{-2t} - e^{-4t}.
  • Para t\to+\infty ambos os termos e^{-2t} e e^{-4t} vão para 0; o termo dominante (o que decai mais lentamente) é 2 e^{-2t}. Portanto \lim_{t\to+\infty} y(t) = 0.Isso confirma a previsão pela analogia massa-mola: retorno ao equilíbrio sem oscilações (superamortecido), com decaimento exponencial.
  • Podemos ainda mostrar que y(t)>0 para todo t\ge 0 e que y(t) é estritamente monótona decrescente em t>0:
    • Escrevendo y(t)=e^{-4t}\bigl(2e^{2t}-1\bigr). Para t\ge0 tem-se e^{2t}\ge1 2e^{2t}-1\ge1>0 y(t)>0.
    • Derivada: y'(t)=-4e^{-2t}+4e^{-4t}=4\bigl(-e^{-2t}+e^{-4t}\bigr)=4e^{-4t}(1-e^{2t}), que é 0 em t=0 e negativa para t>0. Logo decresce para t>0.
      Essas observações reforçam que o retorno é monótono e sem oscilações.

Resposta

Comportamento: y(t)\to 0 quando t\to+\infty; o sistema é superamortecido (sem oscilações), com decaimento exponencial.
Solução explícita: y(t)=2e^{-2t}-e^{-4t}.

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