Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que
da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
As tarefas pedidas são duas, em ordem:
- Usar a analogia massa-mola para prever o comportamento de
quando . - Confirmar a previsão resolvendo o problema e explicitando a solução
.
Vou listar claramente as informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais:
e . - Pede-se comportamento assintótico (
) e resolução explícita.
Passo 2
Explicando a analogia massa-mola de forma simples e intuitiva (sem pular etapas).
- A equação clássica massa-mola amortecida é
, onde: -
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento (amortecimento viscoso), -
é a constante elástica da mola.
-
- Comparando com nossa equação, identifica-se
, e . - Para classificar o comportamento usamos o discriminante associado à equação característica:
- Se
→ complexo conjugado → resposta oscilatória amortecida (subamortecido). - Se
→ raiz dupla real → crítico (amortecimento crítico). - Se
→ duas raízes reais distintas negativas (quando ) → sistema superamortecido (overdamped): sem oscilações, retorno monótono ao equilíbrio.
- Se
- Calculemos
para os parâmetros dados:
Portanto, pela analogia massa-mola espera-se comportamento superamortecido: não haverá oscilações e a solução tenderá para o equilíbrio
conforme
, decaindo exponencialmente.
Passo 3
Agora vamos confirmar resolvendo o problema passo a passo (método padrão para ED com coeficientes constantes).
- Formamos a equação característica associada substituindo
: - Resolvendo a quadrática: o discriminante já calculado é
. Assim Portanto as raízes são - Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da ED homogênea é
onde e são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do porquê: cada raizgera uma solução elementar ; pela linearidade e independência quando as raízes são distintas, a combinação linear das duas gera a solução geral.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para encontrar
- Calcular
usando a regra da cadeia (derivada de é ): Então dá - Temos o sistema linear
Simplificando a segunda equação dividindo por leva a , logo E então ]
Passo 5
Escrever a solução explícita encontrada e verificar propriedades assintóticas.
- Substituindo
e obtemos - Para
ambos os termos e vão para ; o termo dominante (o que decai mais lentamente) é . Portanto Isso confirma a previsão pela analogia massa-mola: retorno ao equilíbrio sem oscilações (superamortecido), com decaimento exponencial. - Podemos ainda mostrar que
para todo e que é estritamente monótona decrescente em : - Escrevendo
. Para tem-se → → . - Derivada:
, que é em e negativa para . Logo decresce para .
Essas observações reforçam que o retorno é monótono e sem oscilações.
- Escrevendo
Resposta
Comportamento:
quando
; o sistema é superamortecido (sem oscilações), com decaimento exponencial.
Solução explícita: .
Solução explícita: