Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int 4 \cdot \operatorname{sen}(3 x) d x ; u=3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 4 \cdot \operatorname{sen}(3x)\,dx
usando a substituição indicada u=3x. Informações dadas:
  • A função a integrar é 4\operatorname{sen}(3x).
  • A substituição indicada é u=3x.
    O objetivo é aplicar a substituição corretamente, integrar em termos de u e depois voltar para a variável x.

Passo 2

Explicar a ideia da substituição: quando se tem uma função composta do tipo \operatorname{sen}(3x), é útil definir u como a parte interna da composição, aqui u=3x. Isso transforma a integral numa forma mais simples em u. Ao fazer u=3x precisamos relacionar du com dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos:
du = 3\,dx.
Isto vem da regra básica de diferenciação: se u(x)=3x então du/dx=3.

Passo 3

Isolar dx em termos de du. A partir de du=3\,dx temos:
dx = \frac{du}{3}.
Essa expressão permite substituir dx na integral original por uma expressão em du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=3x e dx=\dfrac{du}{3} em
\int 4\operatorname{sen}(3x)\,dx
obtém-se
\int 4\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{3}.
Como 4 é constante, pode ser fatorado; portanto a integral fica
\int \frac{4}{3}\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integrar em u. Lembrando a primitiva básica: a integral de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u) (porque \dfrac{d}{du}[\cos(u)]=- \operatorname{sen}(u)). Logo,
\int \frac{4}{3}\operatorname{sen}(u)\,du = \frac{4}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{4}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração. Assim a primitiva em termos de u é
-\frac{4}{3}\cos(u)+C.

Passo 6

Voltar à variável x substituindo u=3x na primitiva encontrada. Isso dá a antiderivada em x:
-\frac{4}{3}\cos(3x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para conferir): derivando a resposta deve retornar o integrando.
\frac{d}{dx}\left(-\frac{4}{3}\cos(3x)+C\right) = -\frac{4}{3}\cdot\bigl(-\sin(3x)\bigr)\cdot 3 = 4\sin(3x),
que é exatamente o integrando original. Portanto está correto.

Resposta

-\dfrac{4}{3}\cos(3x)+C

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