Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição indicada
. Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A substituição indicada é
.
O objetivo é aplicar a substituição corretamente, integrar em termos dee depois voltar para a variável .
Passo 2
Explicar a ideia da substituição: quando se tem uma função composta do tipo
, é útil definir
como a parte interna da composição, aqui
. Isso transforma a integral numa forma mais simples em
. Ao fazer
precisamos relacionar
com
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos:
Isto vem da regra básica de diferenciação: se
então
.
Passo 3
Isolar
em termos de
. A partir de
temos:
Essa expressão permite substituir
na integral original por uma expressão em
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
em
obtém-se
Como
é constante, pode ser fatorado; portanto a integral fica
Passo 5
Integrar em
. Lembrando a primitiva básica: a integral de
é
(porque
). Logo,
onde
é a constante de integração. Assim a primitiva em termos de
é
Passo 6
Voltar à variável
substituindo
na primitiva encontrada. Isso dá a antiderivada em
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para conferir): derivando a resposta deve retornar o integrando.
que é exatamente o integrando original. Portanto está correto.