Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int \cos (4 x+1) d x ; \quad u=4 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(4x+1)\,dx
usando a substituição indicada
u=4x+1.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \cos(4x+1).
  • A substituição sugerida é \;u=4x+1.
  • Quer-se encontrar uma primitiva (antiderivada) da função indicada.

Passo 2

Entendendo a ideia da substituição: quando a integranda é uma composição do tipo \cos(g(x)), é comum fazer u=g(x). Isso simplifica a integral porque transforma a variável x em u e geralmente deixa uma integral direta em u. Aqui g(x)=4x+1, então toma-se
u=4x+1.

Passo 3

Relacionar du com dx: derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=4,
ou seja
du=4\,dx.
Isolando dx vem
dx=\frac{du}{4}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: trocar 4x+1 por u e dx por \dfrac{du}{4}. Assim
\int \cos(4x+1)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{du}{4}.
Como \dfrac{1}{4} é constante, pode-se fatorar:
\int \cos(4x+1)\,dx = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u: a primitiva de \cos(u) é \sin(u), porque \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x substituindo u=4x+1:
\frac{1}{4}\sin(u)+C = \frac{1}{4}\sin(4x+1)+C.
Verificação rápida (para conferir na prova): derivando \dfrac{1}{4}\sin(4x+1) obtém-se \dfrac{1}{4}\cos(4x+1)\cdot 4=\cos(4x+1), que é a integranda original — logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{4}\sin(4x+1)+C

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