Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int(3 x+1)^{8} \cdot 3 d x ; \quad u=3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (3x+1)^{8}\cdot 3\,dx
e indica a substituição \,u=3x+1. Informações dadas:
  • integrando: (3x+1)^{8}\cdot 3;
  • substituição sugerida: u=3x+1.

Passo 2

Ideia da substituição (aulas rápidas): quando a integral contém uma expressão composta do tipo (\text{algo})^{n} e aparece também a derivada da “coisa” interna (ou um múltiplo dela), é eficiente definir u= essa “coisa”. Isso transforma a integral numa em u, que costuma ser simples. A fórmula que usaremos é a mudança de variável: calcular du a partir de u(x) e substituir dx por algo em du.

Passo 3

Faço a substituição indicada: u=3x+1.
Derivo em relação a x:
\frac{du}{dx}=3 \quad\Rightarrow\quad du=3\,dx.
Isto significa que a combinação 3\,dx que aparece na integral é exatamente du.

Passo 4

Substituo na integral original. Como 3\,dx=du e 3x+1=u, tem-se
\int (3x+1)^{8}\cdot 3\,dx = \int u^{8}\,du.
A integral ficou muito mais simples: é uma potência de u.

Passo 5

Integro em u. Lembro a regra básica para potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=8, então
\int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9}+C.

Passo 6

Volto à variável original usando u=3x+1:
\frac{u^{9}}{9}+C = \frac{(3x+1)^{9}}{9}+C.
Verificação rápida (para ficar confiante): derivando \dfrac{(3x+1)^{9}}{9} pelo regra da cadeia obtém-se \dfrac{9(3x+1)^{8}\cdot 3}{9}=(3x+1)^{8}\cdot 3, que é o integrando original. Beleza — está correto!

Resposta

\dfrac{(3x+1)^{9}}{9}+C

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