Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e indica a substituição
. Informações dadas:
- integrando:
; - substituição sugerida:
.
Passo 2
Ideia da substituição (aulas rápidas): quando a integral contém uma expressão composta do tipo
e aparece também a derivada da “coisa” interna (ou um múltiplo dela), é eficiente definir
essa “coisa”. Isso transforma a integral numa em
, que costuma ser simples. A fórmula que usaremos é a mudança de variável: calcular
a partir de
e substituir
por algo em
.
Passo 3
Faço a substituição indicada:
.
Derivo em relação a :
Derivo em relação a
Isto significa que a combinação
que aparece na integral é exatamente
.
Passo 4
Substituo na integral original. Como
e
, tem-se
A integral ficou muito mais simples: é uma potência de
.
Passo 5
Integro em
. Lembro a regra básica para potências: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
, então
Passo 6
Volto à variável original usando
:
Verificação rápida (para ficar confiante): derivando
pelo regra da cadeia obtém-se
, que é o integrando original. Beleza — está correto!