Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int \frac{d x}{\sqrt{4-9 x^{2}}}; \quad u=3 x

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá: calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{4-9x^{2}}}
usando a substituição indicada \;u=3x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A substituição sugerida é \;u=3x.
  • A função sob a raiz é \;4-9x^{2}.
  • Devemos devolver a primitiva (integral indefinida), incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Aplicando a substituição indicada: \;u=3x.
Agora calculo a diferencial du. Como u=3x, derivando ambos os lados em relação a x,
du = 3\,dx.
Isolando dx em função de du temos
dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevo a expressão dentro da raiz usando \;u=3x. Substituo 3x por u:
4-9x^{2} = 4 - (3x)^{2} = 4 - u^{2}.
Portanto a raiz fica \sqrt{4-9x^{2}} = \sqrt{4 - u^{2}}.

Passo 4

Substituo dx e a raiz na integral original e fatoro constantes quando possível:
\int \frac{dx}{\sqrt{4-9x^{2}}} = \int \frac{\dfrac{du}{3}}{\sqrt{4 - u^{2}}} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{4 - u^{2}}}.

Passo 5

Lembrete / mini-aula: integral padrão
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right) + C,
onde a>0. Explicação rápida de por que isso vale: faça v=\dfrac{u}{a}, então dv=\dfrac{du}{a} e
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \int \frac{a\,dv}{\sqrt{a^{2}(1-v^{2})}} = \int \frac{a\,dv}{a\sqrt{1-v^{2}}} = \int \frac{dv}{\sqrt{1-v^{2}}} = \arcsin(v)+C = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui a=2 porque \sqrt{4-u^{2}}=\sqrt{2^{2}-u^{2}}.

Passo 6

Aplico a fórmula padrão ao integral que ficou em u:
\frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{4 - u^{2}}} = \frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{u}{2}\right) + C.

Passo 7

Volto à variável original x usando u=3x. Substituindo:
\frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{u}{2}\right) + C = \frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{3x}{2}\right) + C.
Posso fazer uma verificação rápida derivando: a derivada de \arcsin\!\left(\dfrac{3x}{2}\right) é \dfrac{3}{\sqrt{4-9x^{2}}}, e multiplicando por \dfrac{1}{3} volta a integrando original \dfrac{1}{\sqrt{4-9x^{2}}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\arcsin\!\left(\frac{3x}{2}\right)+C

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