Calcule as integrais por frações parciais:
\int \operatorname{sen}^{6} x \cos ^{5} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{6}x\cos^{5}x\,dx.
Informações úteis que o enunciado dá:
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{6}x\cos^{5}x.
  • Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, resultado com constante de integração).
  • As potências são: \operatorname{sen} com expoente 6 (par) e \cos com expoente 5 (ímpar).

Passo 2

Estratégia e motivo (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Quando uma das funções trigonométricas tem potência ímpar (aqui \cos^{5}x), uma técnica muito prática é separar um fator dessa função (um \cos x) e usar a substituição \,u=\operatorname{sen} x porque du=\cos x\,dx. Isso transforma a integral trigonométrica em uma integral polinomial em u, que é simples de integrar.
  • Vou extrair um fator \cos x da potência \cos^{5}x e reescrever o resto usando \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x. Em seguida faço u=\operatorname{sen} x.

Passo 3

Reescrevendo a integral e preparando a substituição:
\int \operatorname{sen}^{6}x\cos^{5}x\,dx = \int \operatorname{sen}^{6}x\cos^{4}x\cos x\,dx = \int \operatorname{sen}^{6}x\bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2}\cos x\,dx.
Agora uso \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x:
\int \operatorname{sen}^{6}x\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}x\bigr)^{2}\cos x\,dx.
Fazendo a substituição \,u=\operatorname{sen} x (logo du=\cos x\,dx), a integral passa a ser em u:
\int u^{6}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}\,du.

Passo 4

Expandindo o polinômio para integrar termo a termo:
Primeiro expando \bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}:
\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Multiplicando por u^{6}:
u^{6}\bigl(1-2u^{2}+u^{4}\bigr)=u^{6}-2u^{8}+u^{10}.
Então a integral em u é
\int\bigl(u^{6}-2u^{8}+u^{10}\bigr)\,du.

Passo 5

Integro termo a termo usando a regra da potência ( \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C):
\int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7},\qquad \int -2u^{8}\,du=-2\cdot\frac{u^{9}}{9}=-\frac{2u^{9}}{9},
\int u^{10}\,du=\frac{u^{11}}{11}.
Somando:
\frac{u^{7}}{7}-\frac{2u^{9}}{9}+\frac{u^{11}}{11}+C.

Passo 6

Volto à variável original \,x usando u=\operatorname{sen} x:
\frac{\operatorname{sen}^{7}x}{7}-\frac{2\operatorname{sen}^{9}x}{9}+\frac{\operatorname{sen}^{11}x}{11}+C.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{7}x}{7}-\dfrac{2\operatorname{sen}^{9}x}{9}+\dfrac{\operatorname{sen}^{11}x}{11}+C

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