Calcule as integrais por frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações úteis que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, resultado com constante de integração).
- As potências são:
com expoente (par) e com expoente (ímpar).
Passo 2
Estratégia e motivo (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Quando uma das funções trigonométricas tem potência ímpar (aqui
), uma técnica muito prática é separar um fator dessa função (um ) e usar a substituição porque . Isso transforma a integral trigonométrica em uma integral polinomial em , que é simples de integrar. - Vou extrair um fator
da potência e reescrever o resto usando . Em seguida faço .
Passo 3
Reescrevendo a integral e preparando a substituição:
Agora uso
:
Fazendo a substituição
(logo
), a integral passa a ser em
:
Passo 4
Expandindo o polinômio para integrar termo a termo:
Primeiro expando :
Primeiro expando
Multiplicando por
:
Então a integral em
é
Passo 5
Integro termo a termo usando a regra da potência (
):
Somando:
Passo 6
Volto à variável original
usando
: