Calcule as integrais por frações parciais:
\int \frac{x+1}{x^{2}-3 x+1} dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x+1}{x^{2}-3x+1}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2. Ou seja, a fração é própria (grau numerador < grau denominador), então podemos aplicar diretamente frações parciais.
  • O denominador é um polinômio quadrático com discriminante
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 9-4=5>0,
logo tem duas raízes reais distintas. Essas raízes serão úteis para decompor em frações parciais.

Passo 2

Fatorar o denominador (usar fórmula quadrática e escrever as raízes):
x^{2}-3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Definindo
r_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\qquad r_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},
temos
x^{2}-3x+1=(x-r_{1})(x-r_{2}).
Agora fazemos a decomposição em frações parciais (forma padrão para dois pólos simples):
\frac{x+1}{(x-r_{1})(x-r_{2})}=\frac{A}{x-r_{1}}+\frac{B}{x-r_{2}},
onde [A) e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-r_{1})(x-r_{2}) obtemos a identidade:
x+1 = A(x-r_{2})+B(x-r_{1}).
Expandindo:
x+1=(A+B)x - (A r_{2}+B r_{1}).
Comparando coeficientes (coeficiente de x e termo constante) dá o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A r_{2}+B r_{1}=-1. \end{cases}
Resolvendo: de B=1-A\] e substituindo na segunda equação, \[A r_{2}+(1-A)r_{1}=-1 \quad\Rightarrow\quad A(r_{2}-r_{1}) = -1-r_{1}.\] Como \(r_{2}-r_{1}=-\sqrt{5}, segue
A=\frac{-1-r_{1}}{r_{2}-r_{1}}=\frac{-1-r_{1}}{-\sqrt{5}}=\frac{1+r_{1}}{\sqrt{5}}.
Substituindo r_{1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} em cima:
1+r_{1}=1+\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2},
logo
A=\frac{5+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Então
B=1-A=1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Resumo das constantes:
A=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad B=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.]

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando \displaystyle \int\frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Assim
\int \frac{x+1}{x^{2}-3x+1}\,dx =\int\left(\frac{A}{x-r_{1}}+\frac{B}{x-r_{2}}\right)\,dx = A\ln|x-r_{1}|+B\ln|x-r_{2}|+C.
Substituindo A, B, r_{1} e r_{2},
\int \frac{x+1}{x^{2}-3x+1}\,dx =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ln\left|x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right| +\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ln\left|x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right|+C.

Passo 4

Opcional — deixar a resposta numa forma sem as raízes isoladas (às vezes preferível em provas). Usando propriedades de logaritmo:
\begin{aligned} &\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ln|x-r_{1}|+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ln|x-r_{2}|\\[4pt] &\quad=\frac{1}{2}\bigl(\ln|x-r_{1}|+\ln|x-r_{2}|\bigr) +\frac{\sqrt{5}}{2}\bigl(\ln|x-r_{1}|-\ln|x-r_{2}|\bigr)\\[4pt] &\quad=\frac{1}{2}\ln|(x-r_{1})(x-r_{2})| +\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\left|\frac{x-r_{1}}{x-r_{2}}\right|. \end{aligned}
Como (x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-3x+1 e substituindo r_{1},r_{2} na razão dá a forma
\frac{1}{2}\ln|x^{2}-3x+1|+\frac{\sqrt{5}}{2}\ln\left|\frac{2x-3-\sqrt{5}}{2x-3+\sqrt{5}}\right|+C,
que é algebraicamente equivalente à expressão do Passo 3.]

Resposta

\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ln\left|x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right| +\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ln\left|x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right|+C

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