Calcule as integrais por frações parciais: \int \frac{x+1}{x^{2}-3 x+1} dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x+1}{x^{2}-3x+1}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2. Ou seja, a fração é própria (grau numerador < grau denominador), então podemos aplicar diretamente frações parciais.
O denominador é um polinômio quadrático com discriminante
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 9-4=5>0,
logo tem duas raízes reais distintas. Essas raízes serão úteis para decompor em frações parciais.
Passo 2
Fatorar o denominador (usar fórmula quadrática e escrever as raízes):
Multiplicando ambos os lados por (x-r_{1})(x-r_{2}) obtemos a identidade:
x+1 = A(x-r_{2})+B(x-r_{1}).
Expandindo:
x+1=(A+B)x - (A r_{2}+B r_{1}).
Comparando coeficientes (coeficiente de x e termo constante) dá o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A r_{2}+B r_{1}=-1. \end{cases}
Resolvendo: de B=1-A\] e substituindo na segunda equação,
\[A r_{2}+(1-A)r_{1}=-1 \quad\Rightarrow\quad A(r_{2}-r_{1}) = -1-r_{1}.\]
Como \(r_{2}-r_{1}=-\sqrt{5}, segue