Calcule a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. As informações fornecidas são:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - A tarefa: calcular a área da região limitada por essas duas curvas (fechada pelas interseções entre elas).
Passo 2
Primeiro passo técnico necessário: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas porque eles delimitam a região. Para isso igualamos as duas expressões de
:
Agora resolvemos essa equação para
. Passos:
Fatorando:
Portanto as soluções são
e
. Esses são os limites horizontais da região. Para cada um, o
correspondente vale (por exemplo usando
):
Passo 3
Antes de integrar, precisamos saber qual curva fica “por cima” (maior
) entre
e
, porque a fórmula da área usa a diferença (topo - baixo). Calculamos a diferença
No intervalo
a expressão
é não negativa e estritamente positiva em
, logo
ali. Conclusão: para
entre
e
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Agora a fórmula padrão para área entre duas curvas usando fatias verticais: se duas curvas se intersectam em
e
e para todo
a função
está acima de
, então a área é
Intuição rápida: dividir a região em retângulos finos de largura
e altura
; somando e passando ao limite obtém-se a integral.
Aplicando aqui, com
,
,
e
, temos o integral
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro podemos simplificar o integrando:
Usamos a regra básica de antiderivada: para
com
,
Aplicando termo a termo:
Como havia um sinal negativo no integrando original, a antiderivada de
é
Passo 6
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar o integral definido de
a
:
Podemos checar qualitativamente: integrando
em
dá um valor positivo menor que 1, e
faz sentido.
Passo 7
Resumo e interpretação final rápida (estímulo): a área da região fechada pelas parábolas é
. Se estiver nervoso na prova, lembra: encontre interseções, descubra qual função é maior no intervalo, monte
e integre com calma — passo a passo igual a este aí.