Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^{2} ; y=2 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. As informações fornecidas são:
  • A primeira curva é y=x^{2}.
  • A segunda curva é y=2x-x^{2}.
  • A tarefa: calcular a área da região limitada por essas duas curvas (fechada pelas interseções entre elas).

Passo 2

Primeiro passo técnico necessário: encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas porque eles delimitam a região. Para isso igualamos as duas expressões de y:
x^{2}=2x-x^{2}.
Agora resolvemos essa equação para x. Passos:
x^{2}=2x-x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}+x^{2}-2x=0
2x^{2}-2x=0
Fatorando:
2x(x-1)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=1. Esses são os limites horizontais da região. Para cada um, o y correspondente vale (por exemplo usando y=x^{2}):
\text{em }x=0:\\ y=0^{2}=0,\qquad \text{em }x=1:\\ y=1^{2}=1.

Passo 3

Antes de integrar, precisamos saber qual curva fica “por cima” (maior y) entre x=0 e x=1, porque a fórmula da área usa a diferença (topo - baixo). Calculamos a diferença
(2x-x^{2})-x^{2}=2x-2x^{2}=2x(1-x).
No intervalo [0,1] a expressão 2x(1-x) é não negativa e estritamente positiva em (0,1), logo 2x-x^{2}\ge x^{2} ali. Conclusão: para x entre 0 e 1 a função superior é y=2x-x^{2} e a inferior é y=x^{2}.

Passo 4

Agora a fórmula padrão para área entre duas curvas usando fatias verticais: se duas curvas se intersectam em x=a e x=b e para todo x\in[a,b] a função y_{\text{top}}(x) está acima de y_{\text{bot}}(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Intuição rápida: dividir a região em retângulos finos de largura dx e altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}; somando e passando ao limite obtém-se a integral.
Aplicando aqui, com a=0, b=1, y_{\text{top}}=2x-x^{2} e y_{\text{bot}}=x^{2}, temos o integral
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl((2x-x^{2})-x^{2}\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(2x-2x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro podemos simplificar o integrando:
2x-2x^{2}=2\bigl(x-x^{2}\bigr).
Usamos a regra básica de antiderivada: para x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}, \qquad \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.
Como havia um sinal negativo no integrando original, a antiderivada de 2x-2x^{2} é
F(x)=x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 6

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar o integral definido de 0 a 1:
\text{Área}=F(1)-F(0)=\left(1^{2}-\frac{2}{3}\cdot1^{3}\right)-\left(0^{2}-\frac{2}{3}\cdot0^{3}\right)=1-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}.Á
Podemos checar qualitativamente: integrando 2x(1-x) em [0,1] dá um valor positivo menor que 1, e \tfrac{1}{3} faz sentido.

Passo 7

Resumo e interpretação final rápida (estímulo): a área da região fechada pelas parábolas é \tfrac{1}{3}. Se estiver nervoso na prova, lembra: encontre interseções, descubra qual função é maior no intervalo, monte \int (topo - baixo)\,dx e integre com calma — passo a passo igual a este aí.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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