Calcule as integrais hiperbólicas a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a integral
O que se pede: calcular essa integral indefinida (encontrar uma primitiva).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - A integranda é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva).
Passo 2
Vamos lembrar definições e identidades básicas das funções hiperbólicas em termos de exponenciais — isso é útil porque simplifica álgebra rapidamente.
Definições (para todo
):
Identidade útil (a mais básica):
que também implica
e
.
Vou usar essas expressões em termos de
e
para simplificar a integranda.
Passo 3
Escrever a integranda em termos de exponenciais e simplificar passo a passo.
Começando por substituir as expressões:
Então
Colocando o denominador sobre um único quociente:
Agora substituindo de volta:
Portanto a integranda simplifica perfeitamente para
.
Passo 4
Integrar a função simplificada
. Lembre a regra de integração de exponenciais: para constante
,
Aqui
, logo
Passo 5
Verificação rápida (também ajuda na prova para conferir):
derivando a primitiva obtida,
derivando a primitiva obtida,
que é exatamente a integranda que encontramos. Tudo consistente.
Opcional: escrever a primitiva em termos de funções hiperbólicas. Usando
, obtemos
então outra forma da primitiva é
.