Calcule as integrais hiperbólicas a seguir:
\int \frac{\operatorname{sech}(\theta)}{1+\operatorname{tanh} (\theta)} d \theta

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int \frac{\operatorname{sech}(\theta)}{1+\operatorname{tanh}(\theta)}\,d\theta
O que se pede: calcular essa integral indefinida (encontrar uma primitiva).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável de integração é \theta.
  • A integranda é \dfrac{\operatorname{sech}(\theta)}{1+\operatorname{tanh}(\theta)}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva).

Passo 2

Vamos lembrar definições e identidades básicas das funções hiperbólicas em termos de exponenciais — isso é útil porque simplifica álgebra rapidamente.
Definições (para todo \theta):
\operatorname{sinh}(\theta)=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(\theta)=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2},
\operatorname{tanh}(\theta)=\frac{\operatorname{sinh}(\theta)}{\operatorname{cosh}(\theta)}=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}, \qquad \operatorname{sech}(\theta)=\frac{1}{\operatorname{cosh}(\theta)}=\frac{2}{e^{\theta}+e^{-\theta}}.
Identidade útil (a mais básica):
\operatorname{cosh}^2(\theta)-\operatorname{sinh}^2(\theta)=1,
que também implica e^{\theta}=\operatorname{cosh}\theta+\operatorname{sinh}\theta e e^{-\theta}=\operatorname{cosh}\theta-\operatorname{sinh}\theta.
Vou usar essas expressões em termos de e^{\theta} e e^{-\theta} para simplificar a integranda.

Passo 3

Escrever a integranda em termos de exponenciais e simplificar passo a passo.
Começando por substituir as expressões:
\operatorname{sech}(\theta)=\frac{2}{e^{\theta}+e^{-\theta}}, \qquad \operatorname{tanh}(\theta)=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}.
Então
\frac{\operatorname{sech}(\theta)}{1+\operatorname{tanh}(\theta)} = \frac{\dfrac{2}{e^{\theta}+e^{-\theta}}} {\;1+\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}\;} .
Colocando o denominador sobre um único quociente:
1+\dfrac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}} = \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}+e^{\theta}-e^{-\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}} = \frac{2e^{\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}.
Agora substituindo de volta:
\frac{\operatorname{sech}(\theta)}{1+\operatorname{tanh}(\theta)} = \frac{\dfrac{2}{e^{\theta}+e^{-\theta}}}{\dfrac{2e^{\theta}}{e^{\theta}+e^{-\theta}}} = \frac{2}{e^{\theta}+e^{-\theta}}\cdot\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2e^{\theta}} = \frac{1}{e^{\theta}} = e^{-\theta}.
Portanto a integranda simplifica perfeitamente para e^{-\theta}.

Passo 4

Integrar a função simplificada e^{-\theta}. Lembre a regra de integração de exponenciais: para constante a,
\int e^{a\theta}\,d\theta=\frac{e^{a\theta}}{a}+C.
Aqui a=-1, logo
\int e^{-\theta}\,d\theta=\frac{e^{-\theta}}{-1}+C=-e^{-\theta}+C.

Passo 5

Verificação rápida (também ajuda na prova para conferir):
derivando a primitiva obtida,
\frac{d}{d\theta}\bigl(-e^{-\theta}\bigr)= -(-e^{-\theta})=e^{-\theta},
que é exatamente a integranda que encontramos. Tudo consistente.
Opcional: escrever a primitiva em termos de funções hiperbólicas. Usando e^{-\theta}=\operatorname{cosh}\theta-\operatorname{sinh}\theta, obtemos
-e^{-\theta}=\operatorname{sinh}\theta-\operatorname{cosh}\theta,
então outra forma da primitiva é \operatorname{sinh}\theta-\operatorname{cosh}\theta + C.

Resposta

\operatorname{sinh}\theta-\operatorname{cosh}\theta + C

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