Exercício 4. Sendo A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, C=\{1,3,4\} e D=\{1,2,3,4\}, classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique.
(a) A \subset D
(b) A \subset B
(c) B \subset C
(d) B \subset D
(e) C=D

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos e pede para classificar cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Conjuntos fornecidos:
    • A=\{1,2\}
    • B=\{2,3\}
    • C=\{1,3,4\}
    • D=\{1,2,3,4\}
  • Sentenças a classificar:
    • (a) A \subset D
    • (b) A \subset B
    • (c) B \subset C
    • (d) B \subset D
    • (e) C=D

Passo 2

Definições e método que vou usar (explicadinho passo a passo):
  • Definição de subconjunto: dizer que X \subset Y significa que "todo elemento de X pertence a Y". Em símbolos: X \subset Y \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).Na prática, para provar X\subset Y basta verificar cada elemento de X e mostrar que ele está em Y.
  • Definição de igualdade de conjuntos: X=Y significa que os conjuntos têm exatamente os mesmos elementos. Equivalente a: X=Y \quad\Longleftrightarrow\quad X\subset Y \text{ e } Y\subset X.
  • Estratégia prática: Para cada sentença do tipo P \subset Q vou listar os elementos de P e checar um a um se estão em Q. Para uma igualdade vou verificar se cada conjunto está contido no outro.

Passo 3

Verificar se todo elemento de A está em D.
  • Elementos de A: 1 e 2.
  • Checagens:
    • 1\in A e 1\in D (porque D=\{1,2,3,4\}).
    • 2\in A e 2\in D.
      Como ambos os elementos de A pertencem a D, pela definição temos A\subset D. Conclusão: a sentença (a) é verdadeira.

Passo 4

Verificar se todo elemento de A está em B.
  • Elementos de A: 1 e 2.
  • Checagens:
    • 1\in A, mas 1\notin B porque B=\{2,3\} e não contém 1.
    • Mesmo que 2\in B, a falha em 1 já é suficiente.
      Como existe um elemento de A (o 1) que não está em B, não vale A\subset B. Conclusão: a sentença (b) é falsa.

Passo 5

Verificar se todo elemento de B está em C.
  • Elementos de B: 2 e 3.
  • Checagens:
    • 3\in C (porque C=\{1,3,4\}).
    • 2\in B, mas 2\notin C ( C não contém 2 ).
      Como existe um elemento de B (o 2) que não está em C, não vale B\subset C. Conclusão: a sentença (c) é falsa.

Passo 6

Verificar se todo elemento de B está em D.
  • Elementos de B: 2 e 3.
  • Checagens:
    • 2\in D e 3\in D (pois D=\{1,2,3,4\}).
      Como ambos os elementos de B pertencem a D, temos B\subset D. Conclusão: a sentença (d) é verdadeira.

Passo 7

Verificar se C e D têm exatamente os mesmos elementos.
  • Listar elementos:
    • C=\{1,3,4\}
    • D=\{1,2,3,4\}
  • Observações:
    • Todo elemento de C (isto é, 1,3,4) está em D. Logo C\subset D.
    • Porém 2\in D e 2\notin C. Logo D\not\subset C.
      Como falta o elemento 2 em C, não são conjuntos iguais. Conclusão: a sentença (e) é falsa.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F

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