Exercício 4. Sendo
e
, classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá quatro conjuntos e pede para classificar cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
-
Conjuntos fornecidos:
-
-
Sentenças a classificar:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (a)
Passo 2
Definições e método que vou usar (explicadinho passo a passo):
- Definição de subconjunto: dizer que
significa que "todo elemento de pertence a ". Em símbolos: Na prática, para provar basta verificar cada elemento de e mostrar que ele está em . - Definição de igualdade de conjuntos:
significa que os conjuntos têm exatamente os mesmos elementos. Equivalente a: - Estratégia prática: Para cada sentença do tipo
vou listar os elementos de e checar um a um se estão em . Para uma igualdade vou verificar se cada conjunto está contido no outro.
Passo 3
Verificar se todo elemento de
está em
.
- Elementos de
: e . - Checagens:
-
e (porque ). -
e .
Como ambos os elementos depertencem a , pela definição temos . Conclusão: a sentença (a) é verdadeira.
-
Passo 4
Verificar se todo elemento de
está em
.
- Elementos de
: e . - Checagens:
-
, mas porque e não contém . - Mesmo que
, a falha em já é suficiente.
Como existe um elemento de(o ) que não está em , não vale . Conclusão: a sentença (b) é falsa.
-
Passo 5
Verificar se todo elemento de
está em
.
- Elementos de
: e . - Checagens:
-
(porque ). -
, mas ( não contém ).
Como existe um elemento de(o ) que não está em , não vale . Conclusão: a sentença (c) é falsa.
-
Passo 6
Verificar se todo elemento de
está em
.
- Elementos de
: e . - Checagens:
-
e (pois ).
Como ambos os elementos depertencem a , temos . Conclusão: a sentença (d) é verdadeira.
-
Passo 7
Verificar se
e
têm exatamente os mesmos elementos.
- Listar elementos:
-
- Observações:
- Todo elemento de
(isto é, ) está em . Logo . - Porém
e . Logo .
Como falta o elementoem , não são conjuntos iguais. Conclusão: a sentença (e) é falsa.
- Todo elemento de
Resposta
(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F