Calcule as integrais.
\iint_{D} y \mathrm{~d} A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada por y=\ln x, y=x, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,\mathrm{d}A,
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas e retas:
  • y=\ln x,
  • y=x,
  • y=0,
  • y=1.
As perguntas são:
  • Determinar precisamente a região D (intervalos de x e y que a descrevem).
  • Calcular a integral dupla \iint_{D} y\,\mathrm{d}A.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • As curvas envolvidas são y=\ln x (equivalente a x=e^{y}) e y=x (equivalente a x=y).
  • As retas horizontais que limitam verticalmente a região são y=0 e y=1.
  • A região está no primeiro quadrante, então x\ge 0 e y\ge 0.

Passo 2

Vamos entender a forma da região D e quais são os limites úteis para a integração. Primeiro identifique as interseções entre as curvas relevantes dentro de 0\le y\le1.
As equações equivalentes em termos de x são:
y=\ln x \quad\Longleftrightarrow\quad x=e^{y},
y=x \quad\Longleftrightarrow\quad x=y.
Para um dado valor de y entre 0 e 1, os correspondentes valores de x nas duas curvas são x=e^{y} e x=y. Compare-os no intervalo 0\le y\le1:
  • Para y=0: x=e^{0}=1 e x=y=0.
  • Para 0<y\le1: e^{y}\ge e^{0}=1 e y\le 1, logo y\le e^{y}.
Portanto, para cada y em [0,1] a curva x=y fica mais à esquerda (menor x) e x=e^{y} fica mais à direita (maior x). Concluímos que, descrevendo D por variação de y primeiro,
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; y\le x\le e^{y}\}.

Passo 3

Escolha da ordem de integração: como a descrição natural que encontramos é 0\le y\le1 e, para cada y, x varia de x=y até x=e^{y}, é conveniente calcular a integral como integral iterada em ordem dx\,dy.
Escrevendo a integral como iterada:
\iint_{D} y\,\mathrm{d}A = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y}^{e^{y}} y\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.
Aqui usei a propriedade básica das integrais duplas: integrar uma função f(x,y) sobre uma região D pode ser feito avaliando a integral interna em uma variável (aqui x) mantendo a outra fixa (aqui y), e depois integrando o resultado em relação à segunda variável. O elemento de área \mathrm{d}A corresponde ao produto \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y na integração iterada.

Passo 4

Calcule a integral interna em x. Como a integranda é y (que é constante em relação a x durante a integração interna), temos:
\int_{x=y}^{e^{y}} y\,\mathrm{d}x = y\int_{x=y}^{e^{y}} \mathrm{d}x = y\bigl[x\bigr]_{x=y}^{x=e^{y}} = y\bigl(e^{y}-y\bigr).
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\iint_{D} y\,\mathrm{d}A = \int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-y\bigr)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Separe a integral em duas partes para facilitar:
\int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-y\bigr)\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} y e^{y}\,\mathrm{d}y \;-\; \int_{0}^{1} y^{2}\,\mathrm{d}y.
Calcule cada uma delas.
Primeiro, \int_{0}^{1} y^{2}\,\mathrm{d}y é uma integral imediata de potência:
\int_{0}^{1} y^{2}\,\mathrm{d}y = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Agora calcule \int_{0}^{1} y e^{y}\,\mathrm{d}y. Essa integral exige integração por partes. Recordando a fórmula da integração por partes:
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,
onde escolhemos funções u e v de modo conveniente.
Escolha:
u = y \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}u = \mathrm{d}y,
\mathrm{d}v = e^{y}\,\mathrm{d}y \quad\Rightarrow\quad v = e^{y}.
Aplicando a fórmula:
\int y e^{y}\,\mathrm{d}y = y e^{y} - \int e^{y}\,\mathrm{d}y = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1) + C.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y e^{y}\,\mathrm{d}y = \bigl[e^{y}(y-1)\bigr]_{0}^{1} = e^{1}(1-1) - e^{0}(0-1) = 0 - (1\cdot(-1)) = 1.

Passo 6

Junte os resultados:
\iint_{D} y\,\mathrm{d}A = \int_{0}^{1} y e^{y}\,\mathrm{d}y - \int_{0}^{1} y^{2}\,\mathrm{d}y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Interpretação rápida: a média (ponderada por área) do valor de y sobre a região D, integrada, dá a área “peso” total 2/3 — mas o importante para a prova é saber montar corretamente os limites e executar a integração por partes.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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