Calcule as integrais.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas e retas:
-
, -
, -
, -
.
As perguntas são:
- Determinar precisamente a região
(intervalos de e que a descrevem). - Calcular a integral dupla
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- As curvas envolvidas são
(equivalente a ) e (equivalente a ). - As retas horizontais que limitam verticalmente a região são
e . - A região está no primeiro quadrante, então
e .
Passo 2
Vamos entender a forma da região
e quais são os limites úteis para a integração. Primeiro identifique as interseções entre as curvas relevantes dentro de
.
As equações equivalentes em termos de
são:
Para um dado valor de
entre
e
, os correspondentes valores de
nas duas curvas são
e
. Compare-os no intervalo
:
- Para
: e . - Para
: e , logo .
Portanto, para cada
em
a curva
fica mais à esquerda (menor
) e
fica mais à direita (maior
). Concluímos que, descrevendo
por variação de
primeiro,
Passo 3
Escolha da ordem de integração: como a descrição natural que encontramos é
e, para cada
,
varia de
até
, é conveniente calcular a integral como integral iterada em ordem
.
Escrevendo a integral como iterada:
Aqui usei a propriedade básica das integrais duplas: integrar uma função
sobre uma região
pode ser feito avaliando a integral interna em uma variável (aqui
) mantendo a outra fixa (aqui
), e depois integrando o resultado em relação à segunda variável. O elemento de área
corresponde ao produto
na integração iterada.
Passo 4
Calcule a integral interna em
. Como a integranda é
(que é constante em relação a
durante a integração interna), temos:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 5
Separe a integral em duas partes para facilitar:
Calcule cada uma delas.
Primeiro,
é uma integral imediata de potência:
Agora calcule
. Essa integral exige integração por partes. Recordando a fórmula da integração por partes:
onde escolhemos funções
e
de modo conveniente.
Escolha:
Aplicando a fórmula:
Avalie de
a
:
Passo 6
Junte os resultados:
Interpretação rápida: a média (ponderada por área) do valor de
sobre a região
, integrada, dá a área “peso” total
— mas o importante para a prova é saber montar corretamente os limites e executar a integração por partes.