O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informação importante dada: o ponto inicial é (x,y)=(5,2).]
Passo 2
Vamos escolher um método. A equação está escrita como \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{y-x}. Em provas costuma ser útil reescrever como uma equação para x em função de y (inverter a derivada) quando o lado direito fica mais simples nessa forma. Vou fazer isso porque \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y-x}{y}=1-\dfrac{x}{y} sugere a substituição \;u=\dfrac{x}{y}, que tende a simplificar. A ideia é transformar a equação numa equação em u e y que seja separável, integrar, voltar às variáveis originais e aplicar a condição inicial.
Passo 3
Reescrevendo a equação em termos de \dfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy}=\frac{y-x}{y}=1-\frac{x}{y}.
Agora faça a substituição
u=\frac{x}{y}.
Como x=uy, calculamos
\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}.
Substituindo em \dfrac{dx}{dy}=1-\dfrac{x}{y}=1-u obtemos
u+y\frac{du}{dy}=1-u.
Isolando o termo com \dfrac{du}{dy}:
y\frac{du}{dy}=1-2u.
Passo 4
A equação obtida é separável. Separe variáveis:
\frac{du}{1-2u}=\frac{dy}{y}.
Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo, uma substituição rápida dá o fator constante:
Igualando as duas primitivas (combinando constantes numa única constante C) obtemos
-\tfrac{1}{2}\ln|1-2u|=\ln|y|+C.
Multiplicando por -2:
\ln|1-2u|=-2\ln|y|+C',
ou, escrevendo exponencialmente,
|1-2u|=K\,y^{-2},
onde K=e^{C'} é constante não nula (pode ser positiva; o sinal pode ser absorvido em K). Para simplificar, usemos uma constante C com sinal arbitrário e escrevemos
1-2u=C\,y^{-2}.
Passo 5
Volte à variável original, lembrando que u=\dfrac{x}{y}:
1-2\frac{x}{y}=C\,y^{-2}.
Multiplicando por y e rearranjando:
x=\frac{y}{2}-\frac{C}{2}y^{-1}.
Essa é uma relação implícita entre x e y com a constante C ainda desconhecida.
Passo 6
Determine C usando a condição inicial y(5)=2. Substitua x=5 e y=2 em
Temos duas possíveis ramas y(x)=x+\sqrt{x^2-16} ou y(x)=x-\sqrt{x^2-16}. Use a condição inicial para escolher a rama correta: em x=5 tem-se \sqrt{5^2-16}=\sqrt{9}=3. Assim as duas opções dão y(5)=5+3=8 ou y(5)=5-3=2. Como queremos y(5)=2, devemos escolher o sinal menos:
y(x)=x-\sqrt{x^2-16}.
Passo 8
Comente sobre domínio e consistência com a equação original. A expressão envolve \sqrt{x^2-16}, que exige x^2-16\ge0, ou seja |x|\ge4. Além disso a equação original tem denominador y-x, que não pode ser zero; para a solução escolhida tem-se y-x=-\sqrt{x^2-16}, que é zero apenas quando x^2-16=0 (isto é x=\pm4), então esses pontos devem ser excluídos. Como a condição inicial tem x=5, a solução que passa por esse ponto é definida e contínua para x>4. (A outra rama corresponde a outra condição de contorno ou a parte do ramo para x<-4.)
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando y(x)=x-\sqrt{x^2-16} obtém-se