Resolva os PVIs lineares abaixo:
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{y}{y-x} \\\ y(5)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{y-x},\\[6pt] y(5)=2. \end{array}\right.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informação importante dada: o ponto inicial é (x,y)=(5,2).]

Passo 2

Vamos escolher um método. A equação está escrita como \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{y-x}. Em provas costuma ser útil reescrever como uma equação para x em função de y (inverter a derivada) quando o lado direito fica mais simples nessa forma. Vou fazer isso porque \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y-x}{y}=1-\dfrac{x}{y} sugere a substituição \;u=\dfrac{x}{y}, que tende a simplificar. A ideia é transformar a equação numa equação em u e y que seja separável, integrar, voltar às variáveis originais e aplicar a condição inicial.

Passo 3

Reescrevendo a equação em termos de \dfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy}=\frac{y-x}{y}=1-\frac{x}{y}.
Agora faça a substituição
u=\frac{x}{y}.
Como x=uy, calculamos
\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}.
Substituindo em \dfrac{dx}{dy}=1-\dfrac{x}{y}=1-u obtemos
u+y\frac{du}{dy}=1-u.
Isolando o termo com \dfrac{du}{dy}:
y\frac{du}{dy}=1-2u.

Passo 4

A equação obtida é separável. Separe variáveis:
\frac{du}{1-2u}=\frac{dy}{y}.
Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo, uma substituição rápida dá o fator constante:
\int \frac{du}{1-2u}=-\tfrac{1}{2}\ln|1-2u| + C_1.
No lado direito:
\int \frac{dy}{y}=\ln|y| + C_2.
Igualando as duas primitivas (combinando constantes numa única constante C) obtemos
-\tfrac{1}{2}\ln|1-2u|=\ln|y|+C.
Multiplicando por -2:
\ln|1-2u|=-2\ln|y|+C',
ou, escrevendo exponencialmente,
|1-2u|=K\,y^{-2},
onde K=e^{C'} é constante não nula (pode ser positiva; o sinal pode ser absorvido em K). Para simplificar, usemos uma constante C com sinal arbitrário e escrevemos
1-2u=C\,y^{-2}.

Passo 5

Volte à variável original, lembrando que u=\dfrac{x}{y}:
1-2\frac{x}{y}=C\,y^{-2}.
Multiplicando por y e rearranjando:
x=\frac{y}{2}-\frac{C}{2}y^{-1}.
Essa é uma relação implícita entre x e y com a constante C ainda desconhecida.

Passo 6

Determine C usando a condição inicial y(5)=2. Substitua x=5 e y=2 em
5=\frac{2}{2}-\frac{C}{2}\cdot\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo:
5=1-\frac{C}{4}\quad\Rightarrow\quad -\frac{C}{4}=4\quad\Rightarrow\quad C=-16.
Substituindo C=-16 na relação entre x e y:
x=\frac{y}{2}-\frac{-16}{2}y^{-1}=\frac{y}{2}+\frac{8}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y:
xy=\frac{y^2}{2}+8.
Multiplicando por 2 e reorganizando como equação quadrática em y:
y^2-2xy+16=0.

Passo 7

Resolva a quadrática para y (usando fórmula de Bhaskara em termos de y):
y=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^2-4\cdot1\cdot16}}{2}=x\pm\sqrt{x^2-16}.
Temos duas possíveis ramas y(x)=x+\sqrt{x^2-16} ou y(x)=x-\sqrt{x^2-16}. Use a condição inicial para escolher a rama correta: em x=5 tem-se \sqrt{5^2-16}=\sqrt{9}=3. Assim as duas opções dão y(5)=5+3=8 ou y(5)=5-3=2. Como queremos y(5)=2, devemos escolher o sinal menos:
y(x)=x-\sqrt{x^2-16}.

Passo 8

Comente sobre domínio e consistência com a equação original. A expressão envolve \sqrt{x^2-16}, que exige x^2-16\ge0, ou seja |x|\ge4. Além disso a equação original tem denominador y-x, que não pode ser zero; para a solução escolhida tem-se y-x=-\sqrt{x^2-16}, que é zero apenas quando x^2-16=0 (isto é x=\pm4), então esses pontos devem ser excluídos. Como a condição inicial tem x=5, a solução que passa por esse ponto é definida e contínua para x>4. (A outra rama corresponde a outra condição de contorno ou a parte do ramo para x<-4.)

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando y(x)=x-\sqrt{x^2-16} obtém-se
\frac{dy}{dx}=1-\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}=\frac{\sqrt{x^2-16}-x}{\sqrt{x^2-16}}.
Calcule \dfrac{y}{y-x} com a solução:
y-x=(x-\sqrt{x^2-16})-x=-\sqrt{x^2-16}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{y-x}=\frac{x-\sqrt{x^2-16}}{-\sqrt{x^2-16}}=\frac{\sqrt{x^2-16}-x}{\sqrt{x^2-16}},
que coincide com \dfrac{dy}{dx} acima. Então a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

\;y(x)=x-\sqrt{x^{2}-16},\quad\text{definida para }x>4

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