Verifique quais das equações a seguir são exatas. Em caso positivo, encontre sua solução geral. \left(y \ln y-e^{-x y}\right) d x+\left(\frac{1}{y}+x \ln y\right) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\left(y \ln y-e^{-x y}\right) d x+\left(\frac{1}{y}+x \ln y\right) d y=0.
O que se pede:
Verificar se a equação é exata.
Se for exata (ou depois de encontrar um fator integrante), encontrar a solução geral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Definimos
M(x,y)=y\ln y-e^{-xy}, \qquad N(x,y)=\frac{1}{y}+x\ln y,
e a equação tem a forma M\,dx+N\,dy=0.
Passo 2
Explicando o conceito (rápido e prático): uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
Se essa igualdade não ocorre, a equação não é exata — mas às vezes existe um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) ou outro \mu(x,y) que, multiplicando a equação, a torna exata.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando as contas):
também depende de x e y. Logo não há fator integrante somente em x nem somente em y por esse teste.
Passo 5
Procurando um fator integrante mais esperto: observe os termos com e^{-xy}. Uma boa tentativa é multiplicar por \mu(x,y)=e^{xy} para eliminar/cancelar o e^{-xy}. Vamos experimentar \mu=e^{xy}.
Multiplicando a equação por e^{xy} obtemos a nova forma exata candidata: