Explicação rápida: quando a região está descrita com x em um intervalo e, para cada x, y entre duas funções de x, a forma natural é essa iterada. Não estamos mudando a ordem de integração aqui porque os limites já estão prontos para integrar em y primeiro.
Passo 3
Calculo da integral interna \displaystyle \int_{\sqrt{x}}^{1+x} 2xy\,dy tratando x como constante nessa integração (pois estamos integrando em y):
Regra que usamos: para a constante, \displaystyle \int a\,y\,dy = a\cdot\frac{y^2}{2}.
Aplicando com a=2x:
\int 2xy\,dy = 2x\cdot\frac{y^2}{2} = x y^2.
Portanto a integral definida é
\left. x y^2 \right|_{y=\sqrt{x}}^{y=1+x} = x(1+x)^2 - x(\sqrt{x})^2.