Calcule as integrais:
\iint_{D} 2 x y d A; onde \mathrm{D}=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1 ; \sqrt{x} \leq y \leq 1+x\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D} 2xy\,dA
onde o conjunto D é dado por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\ \sqrt{x}\le y\le 1+x\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O intervalo para x é 0 a 1.
  • Para cada x fixo em [0,1], y varia de y=\sqrt{x} até y=1+x.
  • A função a integrar é 2xy.

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada seguindo os limites dados (integrando primeiro em y e depois em x). A escrita é
\iint_{D} 2xy\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=\sqrt{x}}^{1+x} 2xy\,dy\right)dx.
Explicação rápida: quando a região está descrita com x em um intervalo e, para cada x, y entre duas funções de x, a forma natural é essa iterada. Não estamos mudando a ordem de integração aqui porque os limites já estão prontos para integrar em y primeiro.

Passo 3

Calculo da integral interna \displaystyle \int_{\sqrt{x}}^{1+x} 2xy\,dy tratando x como constante nessa integração (pois estamos integrando em y):
  • Regra que usamos: para a constante, \displaystyle \int a\,y\,dy = a\cdot\frac{y^2}{2}.
  • Aplicando com a=2x:
\int 2xy\,dy = 2x\cdot\frac{y^2}{2} = x y^2.
Portanto a integral definida é
\left. x y^2 \right|_{y=\sqrt{x}}^{y=1+x} = x(1+x)^2 - x(\sqrt{x})^2.

Passo 4

Simplificamos a expressão obtida:
  • Primeiro note que (\sqrt{x})^2 = x.
  • Então
x(1+x)^2 - x(\sqrt{x})^2 = x(1+2x+x^2) - x\cdot x.
  • Calcule termo a termo:
x(1+2x+x^2) - x^2 = x + 2x^2 + x^3 - x^2 = x + x^2 + x^3.
Portanto a integral interna simplificada é \displaystyle x + x^2 + x^3.

Passo 5

Agora substituímos na integral externa e integramos em x:
\iint_{D}2xy\,dA = \int_{0}^{1} \bigl(x + x^2 + x^3\bigr)\,dx.
Vamos integrar termo a termo usando a fórmula básica das potências:
  • Regra: \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1} x^3\,dx = \left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Somamos os resultados parciais:
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}.
Para somar, colocamos no mesmo denominador (múltiplo comum 12):
\frac{1}{2} = \frac{6}{12},\qquad \frac{1}{3}=\frac{4}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}.
Somando:
\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{13}{12}.

Resposta

\dfrac{13}{12}

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