4 Encontre a derivada direcional de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x} \cdot \operatorname{sen}(y z) na direcção do vector v^{\vec{A}}=(1,2,-1) no ponto (1,3,0) \quad (3.0)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz) na direção do vetor v=(1,2,-1) no ponto (1,3,0). Informações relevantes dadas:
A função é f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz).
O vetor direção é v=(1,2,-1).
O ponto onde avaliamos é (1,3,0).
Pergunta: calcular a derivada direcional de f naquele ponto ao longo de v.
Passo 2
O que é derivada direcional (definição prática que usaremos):
\text{Seja }u\text{ o vetor unitário na direção desejada. A derivada direcional de }f\text{ em }(x_0,y_0,z_0)\text{ na direção }u\text{ é}
D_{u}f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot u.
Explicando: \nabla f é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de f. O produto interno com o vetor unitário u dá a taxa de variação de f na direção de u. Usamos o vetor unitário porque a derivada direcional mede variação por unidade de comprimento na direção escolhida.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz). Primeiro lembrar a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
Derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u), e se u depende de uma variável aplicamos a regra da cadeia.