4 Encontre a derivada direcional de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=e^{x} \cdot \operatorname{sen}(y z) na direcção do vector v^{\vec{A}}=(1,2,-1) no ponto (1,3,0) \quad (3.0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz) na direção do vetor v=(1,2,-1) no ponto (1,3,0). Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz).
  • O vetor direção é v=(1,2,-1).
  • O ponto onde avaliamos é (1,3,0).
  • Pergunta: calcular a derivada direcional de f naquele ponto ao longo de v.

Passo 2

O que é derivada direcional (definição prática que usaremos):
\text{Seja }u\text{ o vetor unitário na direção desejada. A derivada direcional de }f\text{ em }(x_0,y_0,z_0)\text{ na direção }u\text{ é}áçãçãé
D_{u}f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot u.
Explicando: \nabla f é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de f. O produto interno com o vetor unitário u dá a taxa de variação de f na direção de u. Usamos o vetor unitário porque a derivada direcional mede variação por unidade de comprimento na direção escolhida.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz). Primeiro lembrar a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
  • Derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u), e se u depende de uma variável aplicamos a regra da cadeia.
Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\big)\cdot\operatorname{sen}(yz) + e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(yz)\big).
Como yz não depende de x, a segunda parcela é zero. Logo:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cdot\operatorname{sen}(yz).

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}= e^{x}\cdot\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}(yz)\big).
Usando regra da cadeia: \frac{d}{dy}\operatorname{sen}(yz)=\cos(yz)\cdot\frac{d}{dy}(yz)=\cos(yz)\cdot z. Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x}\cdot\cos(yz)\cdot z.

Passo 5

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial z}:
\frac{\partial f}{\partial z}= e^{x}\cdot\frac{d}{dz}\big(\operatorname{sen}(yz)\big).
Pela cadeia: \frac{d}{dz}\operatorname{sen}(yz)=\cos(yz)\cdot y. Logo:
\frac{\partial f}{\partial z}=e^{x}\cdot\cos(yz)\cdot y.

Passo 6

Agora formamos o gradiente geral:
\nabla f(x,y,z)=\Big(e^{x}\operatorname{sen}(yz),\; e^{x}\cos(yz)\,z,\; e^{x}\cos(yz)\,y\Big).

Passo 7

Avaliamos o gradiente no ponto (1,3,0). Primeiro calculamos yz no ponto:
yz=3\cdot 0=0.
Usamos \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1. Então:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,3,0)}=e^{1}\cdot\operatorname{sen}(0)=e\cdot 0=0,
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,3,0)}=e^{1}\cdot\cos(0)\cdot 0=e\cdot 1\cdot 0=0,
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{(1,3,0)}=e^{1}\cdot\cos(0)\cdot 3=e\cdot 1\cdot 3=3e.
Portanto
\nabla f(1,3,0)=(0,\;0,\;3e).

Passo 8

Precisamos do vetor unitário u na direção de v=(1,2,-1). Calculamos a norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Então o vetor unitário é
u=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)=\Big(\frac{1}{\sqrt{6}},\;\frac{2}{\sqrt{6}},\;-\frac{1}{\sqrt{6}}\Big).

Passo 9

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
D_{u}f(1,3,0)=\nabla f(1,3,0)\cdot u.
Substituindo \nabla f(1,3,0)=(0,0,3e) e u acima:
D_{u}f(1,3,0)=0\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+0\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}+3e\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Big)=-\frac{3e}{\sqrt{6}}.

Passo 10

Podemos simplificar -\dfrac{3e}{\sqrt{6}}. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{6}:
-\frac{3e}{\sqrt{6}}=-\frac{3e\sqrt{6}}{6}=-\frac{e\sqrt{6}}{2}.
Portanto a derivada direcional fica em forma mais simples como -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\,e.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\,e

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