Calcule as integrais:
\iint_{D}\left(\boldsymbol{x}-\mathbf{3} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}\right) d \boldsymbol{A}, onde D=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(\boldsymbol{x}-\mathbf{3} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}\right)\,d\boldsymbol{A},
onde a região D é o retângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;1\le y\le 2\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(x,y)=x-3y^{2}.
  • O domínio D é um retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 1 a 2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?

Passo 2

Ideia geral e justificativa: como f(x,y)=x-3y^{2} é uma função polinomial (portanto contínua) e D é um retângulo, podemos aplicar o teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que podemos integrar primeiro em x e depois em y (ou vice-versa). Em notação:
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{2} (x-3y^{2})\,dx\right)dy.
Aqui, ao integrar em x, tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada explicitamente:
\iint_{D}(x-3y^{2})\,dA = \int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{2} (x-3y^{2})\,dx\right)dy.
Explico: os limites internos x=0 a x=2 vêm da definição de D; os limites externos y=1 a y=2 também.

Passo 4

Calcule a integral interna (em x):
Quando integramos em x,
  • a primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2},
  • a primitiva de -3y^{2} em relação a x é -3y^{2}\,x (porque y é constante aqui).
    Então
\int_{0}^{2} (x-3y^{2})\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-3y^{2}x\right]_{0}^{2}.
Avaliação nos limites:
\left(\frac{2^{2}}{2}-3y^{2}\cdot 2\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-3y^{2}\cdot 0\right) = \left(2-6y^{2}\right)-0 = 2-6y^{2}.

Passo 5

Agora integramos o resultado em y:
\int_{1}^{2} (2-6y^{2})\,dy.
Calcule as primitivas termo a termo:
  • a primitiva de 2 em y é 2y,
  • a primitiva de -6y^{2} em y é -6\cdot \dfrac{y^{3}}{3} = -2y^{3}.
    Portanto uma primitiva da integranda é 2y-2y^{3}. Avaliando de 1 a 2:
\left(2\cdot 2 - 2\cdot 2^{3}\right) - \left(2\cdot 1 - 2\cdot 1^{3}\right) = (4 - 16) - (2 - 2) = -12 - 0 = -12.

Passo 6

Verificação alternativa (dividindo a integral): como a integral é linear, podemos escrever
\iint_{D} (x-3y^{2})\,dA = \iint_{D} x\,dA - 3\iint_{D} y^{2}\,dA.
Calcule separadamente:
  • \iint_{D} x\,dA = \int_{1}^{2}\int_{0}^{2} x\,dx\,dy = \int_{1}^{2} \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} dy = \int_{1}^{2} 2\,dy = 2\cdot(2-1)=2.
  • \iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{1}^{2}\int_{0}^{2} y^{2}\,dx\,dy = \int_{1}^{2} \left(y^{2}\cdot 2\right) dy = 2\int_{1}^{2} y^{2}\,dy = 2\left[\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = 2\left(\dfrac{8-1}{3}\right)=2\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{14}{3}.
    Multiplicando por 3: 3\iint_{D} y^{2}\,dA = 3\cdot \dfrac{14}{3}=14.
    Subtraindo: 2-14=-12. Confirma o resultado anterior.

Resposta

-12

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