Calcule as integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - O domínio
é um retângulo com variando de a e variando de a .
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?
Passo 2
Ideia geral e justificativa: como
é uma função polinomial (portanto contínua) e
é um retângulo, podemos aplicar o teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que podemos integrar primeiro em
e depois em
(ou vice-versa). Em notação:
Aqui, ao integrar em
, tratamos
como constante, e vice-versa.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada explicitamente:
Explico: os limites internos
a
vêm da definição de
; os limites externos
a
também.
Passo 4
Calcule a integral interna (em
):
Quando integramos em ,
Quando integramos em
- a primitiva de
em relação a é , - a primitiva de
em relação a é (porque é constante aqui).
Então
Avaliação nos limites:
Passo 5
Agora integramos o resultado em
:
Calcule as primitivas termo a termo:
- a primitiva de
em é , - a primitiva de
em é .
Portanto uma primitiva da integranda é. Avaliando de a :
Passo 6
Verificação alternativa (dividindo a integral): como a integral é linear, podemos escrever
Calcule separadamente:
-
-
Multiplicando por:
Subtraindo:. Confirma o resultado anterior.