Calcule as integrais impróprias abaixo.
\int_{0}^{1} \frac{\theta+1}{\sqrt{\theta^{2}+2 \theta}} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{\theta+1}{\sqrt{\theta^{2}+2\theta}}\,d\theta.
Aqui o conteúdo é de integrais impróprias (há singularidade em \theta=0) e técnica de mudança de variável para simplificar a raiz.

Passo 2

Primeiro note que
\theta^{2}+2\theta = (\theta+1)^{2}-1,
logo o integrando fica
\frac{\theta+1}{\sqrt{(\theta+1)^{2}-1}}.
A singularidade em \theta=0 corresponde a (\theta+1)^{2}-1=0, mas veremos que a integral converge.

Passo 3

Façamos a mudança de variável
x = \theta+1, \quad d\theta = dx,
quando \theta=0 temos x=1 e, quando \theta=1, x=2. A integral torna-se
\int_{1}^{2}\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.

Passo 4

Reconhecemos que
\frac{d}{dx}\Bigl(\sqrt{x^{2}-1}\Bigr) = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}},
portanto uma primitiva é \sqrt{x^{2}-1}. Avaliando de 1 a 2
\Bigl[\sqrt{x^{2}-1}\Bigr]_{1}^{2} = \sqrt{2^{2}-1}\;-\;\sqrt{1^{2}-1} = \sqrt{3}\;-\;0 = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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