Calcule as integrais impróprias abaixo.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx
Este é um caso com singularidade em x=1 e limite infinito, e vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
x = \operatorname{sec}\theta,\quad dx = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\quad \sqrt{x^2-1} = \tan\theta
Os limites em x mapeiam para \theta: quando x=1, \theta=0; quando x\to\infty, \theta\to\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando simplifica:
\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sec}\theta\cdot\tan\theta}\,(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta) = d\theta
e a integral original vira
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}d\theta

Passo 4

Agora basta calcular
\int_{0}^{\pi/2}d\theta = \left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}

Resposta

\frac{\pi}{2}

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