Exresse os integrandos como soma de frações parciais e em seguida calcule as integrais.
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o integrando
\frac{1}{x\,(x^2-1)^2}
como soma de frações parciais e depois calcular \displaystyle \int \frac{dx}{x\,(x^2-1)^2}.
O conteúdo usado será a decomposição em frações parciais para polinômios racionais e a integração termo a termo.

Passo 2

Propondo a decomposição em frações parciais, temos
\frac{1}{x\,(x^2-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{x+1} + \frac{E}{(x+1)^2}.
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)^2(x+1)^2, obtemos a identidade
1 = A\,(x-1)^2(x+1)^2 + B\,x\,(x-1)(x+1)^2 + C\,x\,(x+1)^2 + D\,x\,(x-1)^2(x+1) + E\,x\,(x-1)^2.
Escolhendo valores convenientes de x: x=0:
1 = A\cdot(-1)^2\cdot1^2 \quad\Longrightarrow\quad A = 1. x=1:
1 = C\cdot1\cdot2^2 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{1}{4}. x=-1:
1 = E\cdot(-1)\cdot(-2)^2 \quad\Longrightarrow\quad -4E = 1 \quad\Longrightarrow\quad E = -\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Para determinar B e D, usamos dois outros valores, por exemplo x=2 e x=-2.
Em x=2:
1 = 9A +18B +18C +6D +2E = 9 +18B +18\cdot\tfrac14 +6D +2\cdot\Bigl(-\tfrac14\Bigr) =13 +18B +6D
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18B +6D = -12 \quad\Longrightarrow\quad 3B + D = -2.
Em x=-2:
1 = 9A +6B -2C +18D -18E = 9 +6B -2\cdot\tfrac14 +18D -18\cdot\Bigl(-\tfrac14\Bigr) =13 +6B +18D
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6B +18D = -12 \quad\Longrightarrow\quad B +3D = -2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3B + D = -2,\\\ B +3D = -2, \end{cases}
acha-se
D = -\tfrac12, \quad B = -\tfrac12.

Passo 4

Assim a decomposição final é
\frac{1}{x(x^2-1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/4}{(x-1)^2} - \frac{1/2}{x+1} - \frac{1/4}{(x+1)^2}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr|, \quad \int \frac{dx}{x-1} = \ln\bigl|x-1\bigr|,
\int \frac{dx}{(x-1)^2} = -\frac{1}{x-1}, \quad \int \frac{dx}{x+1} = \ln\bigl|x+1\bigr|, \quad \int \frac{dx}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x+1}.
Logo
\int \frac{dx}{x(x^2-1)^2} = \ln\bigl|x\bigr| - \tfrac12\,\ln\bigl|x-1\bigr| + \tfrac14\Bigl(-\frac{1}{x-1}\Bigr) - \tfrac12\,\ln\bigl|x+1\bigr| - \tfrac14\Bigl(-\frac{1}{x+1}\Bigr) + C.

Passo 5

Agrupando os logaritmos e simplificando as frações temos
\ln\bigl|x\bigr| - \tfrac12\ln\bigl|x-1\bigr| - \tfrac12\ln\bigl|x+1\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| - \tfrac12\ln\bigl|x^2-1\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\Bigr|,
e as partes racionais
-\frac{1}{4(x-1)} + \frac{1}{4(x+1)}.

Resposta

\int \frac{dx}{x(x^2-1)^2} = \ln\!\Bigl|\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\Bigr| + \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\Bigr) + C.

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