A área abaixo da curva y=\frac{\ln (x)}{x^{2}} de x=1 a x=\infty. é finita ? Calcule o seu valor.

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=\frac{\ln(x)}{x^2} de x=1 até x=\infty, ou seja, o valor da integral imprópria
I = \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx.
Esse problema envolve testar a convergência de uma integral imprópria e calcular a primitiva por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
I = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx.
Para verificar convergência, note que para x\ge e vale
\frac{\ln(x)}{x^2}\le \frac{x^{1/2}}{x^2} = x^{-3/2},
e \displaystyle \int_{e}^{\infty} x^{-3/2}\,dx converge. Logo, nossa integral também converge.

Passo 3

Para calcular a primitiva, fazemos integração por partes. Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = x^{-2}\,dx
de modo que
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = -\frac{1}{x}.
Então
\int \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{\ln(x)}{x} - \int\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} + \int x^{-2}\,dx.
Como \displaystyle \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}, obtemos
\int \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{\ln(x)+1}{x} + C.

Passo 4

Voltando à integral imprópria,
I = \lim_{b\to\infty} \Bigl[-\tfrac{\ln(x)+1}{x}\Bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln(b)+1}{b}\Bigr) - \Bigl(-\frac{\ln(1)+1}{1}\Bigr).
Como \lim_{b\to\infty}\frac{\ln(b)+1}{b}=0 e \ln(1)=0, fica
I = 0 - \bigl(-1\bigr) = 1.

Resposta

A área é finita e vale 1.

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