Calcule as integrais impróprias: integral0^infty s e^-5 s d s;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral imprópria: integral0^infty s e^-5 s d s. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais improprias, que lidam com limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem funções exponenciais e propriedades de integrais definidas.

Passo 2

Vamos começar identificando a forma da nossa integral: integral0^infty s e^-5 s d s. Aqui, temos uma função polinomial ( s) multiplicada por uma função exponencial negativa ( e^-5s). Esse tipo de integral é comum em várias áreas, como probabilidade e física, e podemos resolver usando a técnica de integração por partes.

Passo 3

A fórmula da integração por partes é: integral u , dv = uv - integral v , du. Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos escolher u = s e dv = e^-5s ds. Agora, vamos calcular du e v:
  • u = s então du = ds
  • dv = e^-5s ds então v = integral e^-5s ds = -15 e^-5s

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^infty s e^-5 s d s = uv gr|0^infty - integral0^infty v du
Substituindo u, v, du:
= [ s (-15 e^-5s) ]0^infty - integral0^infty (-15 e^-5s) ds

Passo 5

Vamos avaliar o termo limite [ s (-15 e^-5s) ]0^infty:
  • Quando s to infty, s e^-5s to 0 porque a função exponencial negativa decai mais rápido que o crescimento linear de s.
  • Quando s = 0, 0 times e^0 = 0.
Portanto, esse termo é 0 - 0 = 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral restante:
- integral0^infty (-15 e^-5s) ds = 15 integral0^infty e^-5s ds
A integral de e^-5s é integral e^-5s ds = -15 e^-5s.

Passo 7

Avaliando a integral:
15 [ -15 e^-5s ]0^infty = 15 (0 - (-15)) = 15 times 15 = 125

Resposta

A integral imprópria integral0^infty s e^-5 s d s é igual a 125.

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