Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
O único ponto singular é em x=0, pois \ln x\to -\infty e \sqrt{x}\to 0. Vamos usar a técnica de diferenciação sob o sinal de integral, definindo uma família de integrais em parâmetro.

Passo 2

Definimos
I(a)=\int_{0}^{1}x^{a-1}\,dx,
válida para \Re(a)>0. Essa integral é elementar e dá
I(a)=\frac{1}{a}.

Passo 3

Diferenciamos I(a) em relação a a sob o sinal de integral:
I'(a)=\int_{0}^{1}x^{a-1}\ln x\,dx,
e, por derivação de \tfrac1a, temos
I'(a)=-\frac{1}{a^{2}}.

Passo 4

Na integral original o expoente de x é -\tfrac12, ou seja, a-1=-\tfrac12 implica a=\tfrac12. Logo
\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =I'\bigl(\tfrac12\bigr) =-\frac{1}{(\tfrac12)^{2}} =-4.

Resposta

-4

Exercícios relacionados