Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{2} z^{2} \ln z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz
O conteúdo principal é reconhecer a singularidade em z=0, usar o conceito de limite para integrais impróprias e aplicar integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite ao aproximar o ponto singular por \epsilon>0:
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{\epsilon}^{2} z^{2}\ln z\,dz.

Passo 3

Para calcular \int z^{2}\ln z\,dz escolhemos integração por partes. Seja
u = \ln z,\quad dv = z^{2}dz;
então
du = \frac{1}{z}dz,\quad v = \frac{z^{3}}{3}.
Lembrando que \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int z^{2}\ln z\,dz = \frac{z^{3}}{3}\ln z \;-\;\int \frac{z^{3}}{3}\cdot\frac{1}{z}\,dz = \frac{z^{3}}{3}\ln z - \frac{1}{3}\int z^{2}\,dz = \frac{z^{3}}{3}\ln z - \frac{z^{3}}{9} + C.

Passo 5

Avaliaremos de \epsilon a 2 e, em seguida, o limite:
\int_{\epsilon}^{2}z^{2}\ln z\,dz = \Bigl[\frac{z^{3}}{3}\ln z - \frac{z^{3}}{9}\Bigr]_{\epsilon}^{2} = \Bigl(\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}\Bigr) - \Bigl(\frac{\epsilon^{3}}{3}\ln\epsilon - \frac{\epsilon^{3}}{9}\Bigr).
Como \epsilon^{3}\ln\epsilon\to0 e \epsilon^{3}\to0 quando \epsilon\to0^+, o segundo termo desaparece.

Passo 6

Portanto a integral converge e vale
\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9} = \frac{8}{9}\bigl(3\ln 2 - 1\bigr).

Resposta

\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}.

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