Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-1}^{0} \frac{e^{1 / x}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx.
Aqui o conteúdo principal é integral imprópria e uso de uma troca de variável que simplifica o integrando. Vamos identificar a singularidade, fazer a substituição e, por fim, avaliar o limite.

Passo 2

Note que há comportamento impróprio em x=0, pois 1/x fica muito grande em módulo e x^{-3} também diverge. É importante verificar se a integral converge. Como e^{1/x} tende a zero muito rápido quando x\to0^-, há chance de convergência, mas vamos confirmar com a conta.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
t = \frac1x, \qquad x = \frac1t, \qquad dx = -\frac{1}{t^2}\,dt.
Quando x=-1, temos t=-1; quando x\to0^-, temos t\to-\infty. Substituindo na integral:
\frac{e^{1/x}}{x^3}\,dx = e^{t}\Bigl(\frac1x\Bigr)^3\Bigl(-\frac{1}{t^2}\,dt\Bigr) = -\,t\,e^{t}\,dt.
Logo
\int_{-1}^{0}\frac{e^{1/x}}{x^3}\,dx = \int_{t=-1}^{t=-\infty}\bigl(-t e^t\bigr)\,dt = \int_{-\infty}^{-1} t\,e^t \,dt.

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de t\,e^t por partes. Seja
u = t,\quad dv = e^t\,dt \;\Longrightarrow\; du = dt,\quad v = e^t.
Então
\int t\,e^t\,dt = t\,e^t - \int e^t\,dt = e^t\,(t - 1) + C.
Portanto
\int_{-\infty}^{-1} t\,e^t \,dt = \Bigl[e^t\,(t-1)\Bigr]_{t=-\infty}^{t=-1}.

Passo 5

Avaliaremos os limites:
  • Em t=-1, temos e^{-1}(-1-1)= -2\,e^{-1} = -\tfrac{2}{e}.
  • Quando t\to-\infty, e^t\to0 e t-1 cresce só linearmente, logo e^t(t-1)\to0.
    Assim
\int_{-\infty}^{-1} t\,e^t \,dt = \bigl(-\tfrac{2}{e}\bigr) - 0 = -\tfrac{2}{e}.

Resposta

-\frac{2}{e}.

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