Calcule as integrais impróprias a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Aqui o conteúdo principal é integral imprópria e uso de uma troca de variável que simplifica o integrando. Vamos identificar a singularidade, fazer a substituição e, por fim, avaliar o limite.
Passo 2
Note que há comportamento impróprio em
, pois
fica muito grande em módulo e
também diverge. É importante verificar se a integral converge. Como
tende a zero muito rápido quando
, há chance de convergência, mas vamos confirmar com a conta.
Passo 3
Fazemos a troca de variável
Quando
, temos
; quando
, temos
. Substituindo na integral:
Logo
Passo 4
Agora calculamos a antiderivada de
por partes. Seja
Então
Portanto
Passo 5
Avaliaremos os limites:
- Em
, temos - Quando
, e cresce só linearmente, logo .
Assim