Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \operatorname{cossec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{\pi/2}^{\pi}\csc x\,dx
Observamos que \csc x=1/\sin x e que em x=\pi temos \sin\pi=0, gerando uma descontinuidade no limite superior. O conteúdo é integral imprópria de função com assíntota vertical.

Passo 2

Definimos a integral como limite
I = \lim_{t\to\pi^-}\int_{\pi/2}^{t}\csc x\,dx.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \csc x. Usando a substituição de Weierstrass
u=\tan\frac{x}{2},\quad dx=\frac{2\,du}{1+u^2},\quad \sin x=\frac{2u}{1+u^2},
vem
\csc x\,dx = \frac{1+u^2}{2u}\cdot\frac{2\,du}{1+u^2} = \frac{du}{u}.
Logo
\int \csc x\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C = \ln\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr| + C.

Passo 4

Aplicando ao limite:
I = \lim_{t\to\pi^-}\Bigl[\ln\Bigl|\tan\frac{t}{2}\Bigr| - \ln\Bigl|\tan\frac{\pi}{4}\Bigr|\Bigr] = \lim_{t\to\pi^-}\ln\Bigl|\tan\frac{t}{2}\Bigr|
Como t/2\to\pi/2^-, temos \tan(t/2)\to+\infty e portanto \ln(\tan(t/2))\to+\infty. Logo a integral diverge.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge a um valor finito (vai para +\infty).

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