Calcule as integrais impróprias a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O único ponto em que a função
não é contínua no intervalo
é em
. Vamos, portanto, estudar o comportamento da integral quando
para decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Escrevemos a integral como limite, retirando a vizinhança de
:
Se esse limite for finito, a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Para analisar o limite quando
, fazemos a troca de variável
Quando
,
. Quando
,
. Substituindo na integral interna:
Passo 4
Calculamos a integral de
por partes. Seja
Então
Logo
Passo 5
Agora tomamos o limite
. Note que
, logo
porque
cresce mais rápido do que qualquer potência de
. Portanto o limite é infinito e a integral diverge.
Resposta
A integral
diverge para
.