Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{e^{1 / x}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx.
O único ponto em que a função \frac{e^{1/x}}{x^{3}} não é contínua no intervalo [0,1] é em x=0. Vamos, portanto, estudar o comportamento da integral quando x\to0^+ para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite, retirando a vizinhança de 0:
\int_{0}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx =\lim_{a\to0^+}\int_{a}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx.
Se esse limite for finito, a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Para analisar o limite quando a\to0^+, fazemos a troca de variável
t=\frac{1}{x}, \quad x=\frac{1}{t}, \quad dx=-\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Quando x=a, t=1/a\to+\infty. Quando x=1, t=1. Substituindo na integral interna:
\int_{a}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx =\int_{t=1/a}^{t=1}\frac{e^{t}}{\bigl(1/t\bigr)^{3}}\Bigl(-\frac{1}{t^{2}}\Bigr)\,dt =\int_{1/a}^{1}-e^{t}\,t\,dt =\int_{1}^{1/a}e^{t}\,t\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral de e^{t}t por partes. Seja
u=t,\quad dv=e^{t}dt \quad\Longrightarrow\quad du=dt,\quad v=e^{t}.
Então
\int e^{t}t\,dt =e^{t}t-\int e^{t}\,dt =e^{t}t-e^{t} =e^{t}(t-1).
Logo
\int_{1}^{1/a}e^{t}t\,dt =\bigl[e^{t}(t-1)\bigr]_{t=1}^{t=1/a} =e^{1/a}\Bigl(\frac{1}{a}-1\Bigr)-e^{1}(1-1) =e^{1/a}\Bigl(\frac{1}{a}-1\Bigr).

Passo 5

Agora tomamos o limite a\to0^+. Note que 1/a\to+\infty, logo
e^{1/a}\Bigl(\frac{1}{a}-1\Bigr) \longrightarrow +\infty
porque e^{1/a} cresce mais rápido do que qualquer potência de 1/a. Portanto o limite é infinito e a integral diverge.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx diverge para +\infty.

Exercícios relacionados