Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}-6 x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}-6x+5}\,dx
A função tem uma singularidade em x=1 (pois x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)), e 1 está dentro do intervalo de integração. Para tratar isso, vamos dividir em duas integrais impróprias em torno de x=1.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-6x+5 = (x-1)(x-5).
Em seguida fazemos frações parciais:
\frac{1}{(x-1)(x-5)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-5}.
Para determinar A e B, escrevemos
A(x-5) + B(x-1) = 1.
Tomando x=1 A(-4)=1 \Rightarrow A=-\tfrac14, e x=5 B(4)=1 \Rightarrow B=\tfrac14. Logo
\frac{1}{(x-1)(x-5)} = -\frac{1}{4(x-1)} + \frac{1}{4(x-5)} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-1}\Bigr).

Passo 3

Com isso, uma primitiva é
F(x) = \frac{1}{4}\Bigl[\ln\bigl|x-5\bigr| -\ln\bigl|x-1\bigr|\Bigr] + C = \frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{x-5}{x-1}\Bigr| + C.
Vamos agora escrever a integral imprópria como
\int_{0}^{3} \frac{dx}{(x-1)(x-5)} = \lim_{t\to1^-}\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)(x-5)} + \lim_{s\to1^+}\int_{s}^{3}\frac{dx}{(x-1)(x-5)}.

Passo 4

Calculemos cada trecho:
  1. Para 0\le x<t<1,
\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)(x-5)} = F(t)-F(0).
Aqui
F(0) = \frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{-5}{-1}\Bigr| = \frac{1}{4}\ln(5),
e
F(t) = \frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{t-5}{t-1}\Bigr| = \frac{1}{4}\bigl[\ln(5-t)-\ln(1-t)\bigr].
Quando t\to1^-, \ln(1-t)\to-\infty, então
F(t)-F(0)\;\longrightarrow\;+\infty.
  1. Para s>1 e s\to1^+,
\int_{s}^{3}\frac{dx}{(x-1)(x-5)} = F(3)-F(s).
Como
F(3) = \frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{3-5}{3-1}\Bigr| = \frac{1}{4}\ln\!\Bigl|\frac{-2}{2}\Bigr| = 0,
e
F(s) = \frac{1}{4}\bigl[\ln(5-s)-\ln(s-1)\bigr],
ao fazer s\to1^+ temos \ln(s-1)\to-\infty, logo
F(3)-F(s)\;\longrightarrow\;-\infty.

Passo 5

Como o primeiro limite tende a +\infty e o segundo a -\infty, a soma não existe de forma finita. Ou seja, a integral imprópria
\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}-6x+5}\,dx
não converge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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