Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{4+x^{2}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4+x^{2}}{x^{3}}\,dx,
onde a variável de integração é x e elementos que não são x devem ser tratados como constantes. Observação importante: a expressão está definida para x\neq0, então qualquer resultado que envolva \ln(x) deve usar valor absoluto.

Passo 2

Primeiro simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x^{3}. Ou seja,
\frac{4+x^{2}}{x^{3}}=\frac{4}{x^{3}}+\frac{x^{2}}{x^{3}}=4x^{-3}+x^{-1}.

Passo 3

Lembrar as regras básicas de integração que vamos usar:
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx para constante a.
  • Regra da potência (para n\neq-1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Caso especial: \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C.
    Vou aplicar essas regras ao integrando já escrito como soma de potências.

Passo 4

Aplicando linearidade:
\int\left(4x^{-3}+x^{-1}\right)\,dx=4\int x^{-3}\,dx+\int x^{-1}\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int x^{-3}\,dx usando a regra da potência com n=-3:
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Multiplicando por 4:
4\int x^{-3}\,dx=4\left(-\tfrac{1}{2}x^{-2}\right)=-2x^{-2}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int x^{-1}\,dx, que é o caso especial:
\int x^{-1}\,dx=\ln|x|.

Passo 7

Somar as duas partes e adicionar a constante de integração C:
-2x^{-2}+\ln|x|+C.
Escrevendo x^{-2} como \dfrac{1}{x^{2}}, a forma mais habitual é
-\frac{2}{x^{2}}+\ln|x|+C.

Resposta

-\dfrac{2}{x^{2}}+\ln|x|+C

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