Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Precisamos calcular a integral indefinida
. - A variável de integração é
. - Elementos que não forem a variável de integração devem ser tratados como constantes (aqui não há outras variáveis).
- A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Simplificar a expressão antes de integrar (isso facilita muito na prova).
- Começo dividindo cada parcela do numerador por
:
- Agora simplifico cada termo:
(porque cancela) e — cuidado, isso está escrito de forma estranha; melhor usar potências corretamente no próximo passo.
Passo 3
Usar potências para clarear a segunda parcela e explicar a regra de potência:
- Lembrando que
. Então
- Portanto a integranda simplificada é
- Breve aula: a regra de potência que usamos é
. Aqui e , então .
Passo 4
Aplicar a integral termo a termo e usar a regra do polinômio (power rule) para integrais:
- Regra do power rule: para qualquer
,
Aqui
é a constante de integração e
é um número real (representa o expoente). Exemplo rápido:
.
- Integral da função simplificada
é a soma das integrais: -
, porque integrar uma constante dá . -
: aplicar a regra com . Então
- Simplificando
, logo .
-
Passo 5
Combinar as primitivas dos termos e tratar a constante de integração:
- A primitiva geral da soma é a soma das primitivas; somando as duas primitivas obtidas e absorvendo
e numa única constante , chega-se à primitiva final (escrita na seção de resposta).