Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{2 \sqrt{x}+x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Precisamos calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2 \sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}\,dx.
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não forem a variável de integração devem ser tratados como constantes (aqui não há outras variáveis).
  • A resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2 \sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}.

Passo 2

Simplificar a expressão antes de integrar (isso facilita muito na prova).
  • Começo dividindo cada parcela do numerador por \sqrt{x}:
\frac{2\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}}.
  • Agora simplifico cada termo: \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2 (porque \sqrt{x} cancela) e \dfrac{x}{\sqrt{x}}=\dfrac{x}{x^{1/2}}=x^{1-x^{1/2}} — cuidado, isso está escrito de forma estranha; melhor usar potências corretamente no próximo passo.

Passo 3

Usar potências para clarear a segunda parcela e explicar a regra de potência:
  • Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{x}{x^{1/2}}=x^{1 - 1/2}=x^{1/2}.
  • Portanto a integranda simplificada é
\frac{2\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}=2+x^{1/2}.
  • Breve aula: a regra de potência que usamos é \dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. Aqui a=1 e b=\tfrac12, então 1-\tfrac12=\tfrac12.

Passo 4

Aplicar a integral termo a termo e usar a regra do polinômio (power rule) para integrais:
  • Regra do power rule: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui C é a constante de integração e n é um número real (representa o expoente). Exemplo rápido: \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C.
  • Integral da função simplificada 2+x^{1/2} é a soma das integrais:
    • \displaystyle \int 2\,dx = 2x + C_1, porque integrar uma constante a ax.
    • \displaystyle \int x^{1/2}\,dx: aplicar a regra com n=\tfrac12. Então
    \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C_2=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C_2.
    • Simplificando \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, logo \displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C_2.

Passo 5

Combinar as primitivas dos termos e tratar a constante de integração:
  • A primitiva geral da soma é a soma das primitivas; somando as duas primitivas obtidas e absorvendo C_1 e C_2 numa única constante C, chega-se à primitiva final (escrita na seção de resposta).

Resposta

\displaystyle 2x+\frac{2}{3}x^{3/2}+C

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