Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a expressão tem constante multiplicativa
e a variável de integração é
. Devemos apresentar a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método: aqui o integrando é uma constante multiplicando
. Duas estratégias simples funcionam e são equivalentes: (A) reconhecer que a derivada de
é
, ou (B) fazer a substituição linear
. Vou mostrar a substituição passo a passo porque é didática e óbvia na prova.
Passo 3
Fatorar a constante para fora da integral — regra básica de integrais: constantes podem sair da integral. Assim,
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
. Quando substituímos,
Explicação: como
depende linearmente de
com coeficiente
, temos
e a forma da integral fica exatamente a da função recíproca
.
Passo 5
Integrar
: a primitiva de
é
(mais constante). Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Retornar à variável original substituindo
:
Comentário didático: o valor absoluto é importante porque
só aceita argumentos positivos; a primitiva correta para todos os
é escrita com
. Nas provas muitas vezes aceitam
se assumirem
, mas o mais seguro é manter o valor absoluto.
Passo 7
Resumo da ideia útil para a prova: sempre que vir
, pense em
como primitiva, ou faça a substituição
essa linear. Lembre-se de fatorar constantes.