Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15}{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15}{x+1}\,dx.
Informações dadas: a expressão tem constante multiplicativa 15 e a variável de integração é x. Devemos apresentar a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método: aqui o integrando é uma constante multiplicando \dfrac{1}{x+1}. Duas estratégias simples funcionam e são equivalentes: (A) reconhecer que a derivada de \ln|x+1| é \dfrac{1}{x+1}, ou (B) fazer a substituição linear u=x+1. Vou mostrar a substituição passo a passo porque é didática e óbvia na prova.

Passo 3

Fatorar a constante para fora da integral — regra básica de integrais: constantes podem sair da integral. Assim,
\int \frac{15}{x+1}\,dx = 15\int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=x+1. Então du=dx. Quando substituímos,
15\int \frac{1}{x+1}\,dx = 15\int \frac{1}{u}\,du.
Explicação: como u depende linearmente de x com coeficiente 1, temos dx=du e a forma da integral fica exatamente a da função recíproca \dfrac{1}{u}.

Passo 5

Integrar \dfrac{1}{u}: a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u| (mais constante). Então
15\int \frac{1}{u}\,du = 15\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Retornar à variável original substituindo u=x+1:
15\ln|u| + C = 15\ln|x+1| + C.
Comentário didático: o valor absoluto é importante porque \ln só aceita argumentos positivos; a primitiva correta para todos os x\neq -1 é escrita com |x+1|. Nas provas muitas vezes aceitam \ln(x+1) se assumirem x>-1, mas o mais seguro é manter o valor absoluto.

Passo 7

Resumo da ideia útil para a prova: sempre que vir \dfrac{1}{\text{(linear em }x)}, pense em \ln|\text{linear}| como primitiva, ou faça a substituição u= essa linear. Lembre-se de fatorar constantes.

Resposta

15\ln|x+1|+C

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