Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\operatorname{sen} u-2 \cos u}{\cos u} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}\,du.
Informações dadas:
  • A variável de integração é u.
  • Elementos que não forem u devem ser tratados como constantes (ainda que aqui todos os termos dependam de u).
  • Devemos fornecer uma primitiva (família de funções) com a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica dentro da integral, dividindo termo a termo por \cos u:
\frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}=\frac{\sin u}{\cos u}-2=\tan u - 2.
Portanto a integral fica mais simples:
\int \frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}\,du=\int (\tan u - 2)\,du.

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo. Começo por \int \tan u\,du. Lembre que
\tan u=\frac{\sin u}{\cos u},
então
\int \tan u\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Faço a substituição \;v=\cos u\;, então \;dv=-\sin u\,du\;. Assim
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du=-\int \frac{dv}{v}=-\ln|v|+C_1=-\ln|\cos u|+C_1.
Explicação rápida: \int \frac{1}{v}\,dv=\ln|v|+C e o valor absoluto é necessário porque v pode ser negativo.

Passo 4

Agora a parte constante: \int -2\,du. Isso é direto, usando a regra \int a\,du = a u + C para constante a. Então
\int -2\,du=-2u + C_2.

Passo 5

Juntando as duas primitivas (e agrupando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos
\int (\tan u - 2)\,du=-\ln|\cos u|-2u + C.
Também é comum escrever a primitiva usando a função secante:
-\ln|\cos u|=\ln\bigl|\operatorname{sec} u\bigr|,
então uma forma alternativa é \ln|\operatorname{sec} u|-2u + C.

Resposta

-\ln|\cos u|-2u + C

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