Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \frac{\operatorname{sen} u-2 \cos u}{\cos u} d u
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}\,du.
Informações dadas:
A variável de integração é u.
Elementos que não forem u devem ser tratados como constantes (ainda que aqui todos os termos dependam de u).
Devemos fornecer uma primitiva (família de funções) com a constante de integração C.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica dentro da integral, dividindo termo a termo por \cos u:
\frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}=\frac{\sin u}{\cos u}-2=\tan u - 2.
Portanto a integral fica mais simples:
\int \frac{\sin u - 2\cos u}{\cos u}\,du=\int (\tan u - 2)\,du.
Passo 3
Agora vamos integrar termo a termo. Começo por \int \tan u\,du. Lembre que
\tan u=\frac{\sin u}{\cos u},
então
\int \tan u\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Faço a substituição \;v=\cos u\;, então \;dv=-\sin u\,du\;. Assim