Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a integral indefinida
onde
e
são constantes (não dependem de
).
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. -
e são constantes em relação a . - Deve-se apresentar a antiderivada (integral indefinida), incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeira ação útil: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
. Isso é uma álgebra simples de frações:
Aqui usamos que
e que
porque
onde a expressão faz sentido.
Passo 3
Aplicar a linearidade da integral. A propriedade é: para funções
e
e constantes
,
Aplicando ao integrando simplificado obtemos
Além disso, constantes podem ser colocadas fora do símbolo integral.
Passo 4
Integrar o primeiro termo. Como
é constante,
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Integrar o segundo termo. Note que
Dois modos de ver a primitiva de
:
Método A — reconhecimento direto: lembrar que a derivada de
é
. Portanto
Método B — substituição (prova rápida): faça
. Então
e
A presença do valor absoluto
vem porque a primitiva de
é
.
Multiplicando pela constante
,
Passo 6
Juntar as primitivas e unificar a constante de integração. Somando as contribuições dos passos anteriores:
onde
é uma constante arbitrária (combinação de
e
).
Passo 7
Verificação rápida (checar que está certo): derivar a resposta para ver se volta ao integrando.
que é exatamente o integrando dado. Portanto a antiderivada está correta.