Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{a \operatorname{sen} u+b \cos u}{\operatorname{sen} u} d u

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a integral indefinida
\int \frac{a\sin u + b\cos u}{\sin u}\,du,
onde a e b são constantes (não dependem de u).
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é u.
  • a e b são constantes em relação a u.
  • Deve-se apresentar a antiderivada (integral indefinida), incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeira ação útil: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por \sin u. Isso é uma álgebra simples de frações:
\frac{a\sin u + b\cos u}{\sin u} = \frac{a\sin u}{\sin u} + \frac{b\cos u}{\sin u} = a + b\frac{\cos u}{\sin u}.
Aqui usamos que \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z} e que \dfrac{a\sin u}{\sin u}=a porque \sin u\neq0 onde a expressão faz sentido.

Passo 3

Aplicar a linearidade da integral. A propriedade é: para funções f e g e constantes c_1,c_2,
\int (c_1 f + c_2 g)\,du = c_1\int f\,du + c_2\int g\,du.
Aplicando ao integrando simplificado obtemos
\int\left(a + b\frac{\cos u}{\sin u}\right)\,du = \int a\,du + b\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du.
Além disso, constantes podem ser colocadas fora do símbolo integral.

Passo 4

Integrar o primeiro termo. Como a é constante,
\int a\,du = a u + C_1,
porque a derivada de a u em relação a u é a.

Passo 5

Integrar o segundo termo. Note que
\frac{\cos u}{\sin u}=\cot u.
Dois modos de ver a primitiva de \cot u:
Método A — reconhecimento direto: lembrar que a derivada de \ln|\sin u| é \dfrac{\cos u}{\sin u}. Portanto
\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du = \ln|\sin u| + C_2.
Método B — substituição (prova rápida): faça t=\sin u. Então dt=\cos u\,du e
\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C_2 = \ln|\sin u| + C_2.
A presença do valor absoluto |\cdot| vem porque a primitiva de 1/t é \ln|t|.
Multiplicando pela constante b,
b\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du = b\ln|\sin u| + bC_2.

Passo 6

Juntar as primitivas e unificar a constante de integração. Somando as contribuições dos passos anteriores:
\int \frac{a\sin u + b\cos u}{\sin u}\,du = a u + b\ln|\sin u| + C,
onde C é uma constante arbitrária (combinação de C_1 e bC_2).

Passo 7

Verificação rápida (checar que está certo): derivar a resposta para ver se volta ao integrando.
\frac{d}{du}\bigl(a u + b\ln|\sin u|\bigr) = a + b\frac{\cos u}{\sin u} = \frac{a\sin u + b\cos u}{\sin u},
que é exatamente o integrando dado. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

a u + b\ln|\sin u| + C

Exercícios relacionados