Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u} d u

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u}\,du.
Informações dadas e convenções: a variável de integração é u; elementos que não dependem de u são constantes (não aplicável aqui). A integral é indefinida, então devemos apresentar a família de primitivas, adicionando uma constante de integração C.

Passo 2

Reconhecer a forma da função: a razão \dfrac{\operatorname{sen} u}{\cos u} é exatamente a função tangente. Em notação habitual:
\frac{\operatorname{sen} u}{\cos u}=\tan u.
Logo a integral pode ser escrita como
\int \tan u\,du.
Explicação didática: a tangente é definida como o quociente seno sobre cosseno. Muitas integrais envolvendo seno e cosseno ficam fáceis usando essa identidade.

Passo 3

Escolher um método simples (substituição): a derivada de \cos u é -\operatorname{sen} u, por isso é natural fazer a substituição
v=\cos u.
Calculando o diferencial:
dv = -\operatorname{sen} u\,du \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} u\,du = -dv.
Substituindo na integral original:
\int \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u}\,du = \int \frac{-dv}{v} = -\int \frac{dv}{v}.

Passo 4

Integrar a expressão transformada: a integral de 1/v é o logaritmo natural. Assim
-\int \frac{dv}{v} = -\ln\lvert v\rvert + C,
onde \lvert v\rvert aparece por causa do domínio do logaritmo (o argumento deve ser positivo). Voltando à variável original u usando v=\cos u,
-\ln\lvert v\rvert + C = -\ln\lvert\cos u\rvert + C.
Observação alternativa: essa primitiva também pode ser escrita como \ln\lvert\operatorname{sec} u\rvert + C, já que \operatorname{sec} u = 1/\cos u e \ln\lvert\operatorname{sec} u\rvert = -\ln\lvert\cos u\rvert.

Passo 5

Verificação rápida (diferenciar para checar): derive a primitiva encontrada para confirmar:
\frac{d}{du}\bigl(-\ln\lvert\cos u\rvert\bigr) = -\frac{1}{\cos u}\cdot\frac{d}{du}(\cos u) = -\frac{1}{\cos u}\cdot(-\operatorname{sen} u) = \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u},
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Resposta

-\ln\lvert\cos u\rvert + C

Exercícios relacionados