Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e convenções: a variável de integração é
; elementos que não dependem de
são constantes (não aplicável aqui). A integral é indefinida, então devemos apresentar a família de primitivas, adicionando uma constante de integração
.
Passo 2
Reconhecer a forma da função: a razão
é exatamente a função tangente. Em notação habitual:
Logo a integral pode ser escrita como
Explicação didática: a tangente é definida como o quociente seno sobre cosseno. Muitas integrais envolvendo seno e cosseno ficam fáceis usando essa identidade.
Passo 3
Escolher um método simples (substituição): a derivada de
é
, por isso é natural fazer a substituição
Calculando o diferencial:
Substituindo na integral original:
Passo 4
Integrar a expressão transformada: a integral de
é o logaritmo natural. Assim
onde
aparece por causa do domínio do logaritmo (o argumento deve ser positivo). Voltando à variável original
usando
,
Observação alternativa: essa primitiva também pode ser escrita como
, já que
e
.
Passo 5
Verificação rápida (diferenciar para checar): derive a primitiva encontrada para confirmar:
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.