Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Tudo que não é
deve ser considerado constante (aqui não há outros símbolos). - O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função
tal que ).
Passo 2
Observação e ideia de método (substituição/identidade padrão).
- Uma observação útil: a derivada de
em relação a é
- A nossa integral tem
no numerador; isso é proporcional a . Isto sugere a substituição
ou usar a identidade padrão
porque o numerador é (constante vezes) a derivada do denominador.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente.
- Tome
. Então
- Reescrevendo o integrando:
Passo 4
Integrar em
.
- A integral em
fica
- Sabendo que
, obtemos
Passo 5
Voltar para a variável
e comentar sobre o valor absoluto.
- Substituindo
de volta:
- Observação: como
para todo , pode-se escrever sem as barras de valor absoluto: