Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x^{3}}{1+x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15 x^{3}}{1+x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Tudo que não é x deve ser considerado constante (aqui não há outros símbolos).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x) = \dfrac{15x^{3}}{1+x^{4}}).

Passo 2

Observação e ideia de método (substituição/identidade padrão).
  • Uma observação útil: a derivada de (1+x^{4}) em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(1+x^{4}\big)=4x^{3}.
  • A nossa integral tem 15x^{3} no numerador; isso é proporcional a 4x^{3}. Isto sugere a substituição
u=1+x^{4},
ou usar a identidade padrão
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\big|f(x)\big|+C,
porque o numerador é (constante vezes) a derivada do denominador.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente.
  • Tome \displaystyle u=1+x^{4}. Então
du = 4x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx=\frac{du}{4}.
  • Reescrevendo o integrando:
\frac{15x^{3}}{1+x^{4}}\,dx = 15\cdot\frac{x^{3}\,dx}{u} = 15\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{15}{4}\cdot\frac{du}{u}.

Passo 4

Integrar em u.
  • A integral em u fica
\int \frac{15x^{3}}{1+x^{4}}\,dx = \frac{15}{4}\int \frac{du}{u}.
  • Sabendo que \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C, obtemos
\frac{15}{4}\ln|u|+C.

Passo 5

Voltar para a variável x e comentar sobre o valor absoluto.
  • Substituindo u=1+x^{4} de volta:
\frac{15}{4}\ln\big|1+x^{4}\big|+C.
  • Observação: como 1+x^{4}>0 para todo x\in\mathbb{R}, pode-se escrever sem as barras de valor absoluto:
\frac{15}{4}\ln\big(1+x^{4}\big)+C.

Resposta

\dfrac{15}{4}\ln\big(1+x^{4}\big)+C

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