Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sec} ^{16} x \operatorname{tg} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{16}x\,\tan x\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não forem variáveis de integração devem ser considerados constantes (aqui não há outras variáveis).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (função cujo derivada é o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia útil a começar: notar que a derivada de \operatorname{sec} x aparece frequentemente junto com \tan x. Vou mostrar por que:
\operatorname{sec} x = (\cos x)^{-1}.
Derivando usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Reescrevendo \sin x/\cos^2 x como (1/\cos x)\cdot(\sin x/\cos x) obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\cdot\tan x.
Isso é essencial: \operatorname{sec} x\tan x\,dx é exatamente d(\operatorname{sec} x). Essa observação sugere usar substituição onde u=\operatorname{sec} x.

Passo 3

Preparar a substituição. Escrevo o integrando de forma a deixar aparecer \operatorname{sec} x\tan x\,dx:
\operatorname{sec}^{16}x\,\tan x\,dx = \operatorname{sec}^{15}x\cdot\big(\operatorname{sec} x\tan x\,dx\big).
Agora faço a substituição proposta:
u=\operatorname{sec} x \qquad\Rightarrow\qquad du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Com isso, o fator entre parênteses vira du e \operatorname{sec}^{15}x vira u^{15}. Portanto a integral transforma-se em uma integral em u:
\int \operatorname{sec}^{16}x\,\tan x\,dx = \int u^{15}\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a regra da potência para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=15, logo
\int u^{15}\,du = \frac{u^{16}}{16}+C.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=\operatorname{sec} x:
\frac{u^{16}}{16}+C = \frac{\operatorname{sec}^{16}x}{16}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): diferenciar a resposta para checar se recupera o integrando. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sec}^{16}x}{16}\right)=\frac{1}{16}\cdot 16\operatorname{sec}^{16}x\tan x=\operatorname{sec}^{16}x\tan x,
portanto está correto.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sec}^{16}x}{16}+C

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