Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. - Elementos que não forem variáveis de integração devem ser considerados constantes (aqui não há outras variáveis).
- O objetivo é encontrar uma primitiva (função cujo derivada é o integrando), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia útil a começar: notar que a derivada de
aparece frequentemente junto com
. Vou mostrar por que:
Derivando usando a regra da cadeia,
Reescrevendo
como
obtemos
Isso é essencial:
é exatamente
. Essa observação sugere usar substituição onde
.
Passo 3
Preparar a substituição. Escrevo o integrando de forma a deixar aparecer
:
Agora faço a substituição proposta:
Com isso, o fator entre parênteses vira
e
vira
. Portanto a integral transforma-se em uma integral em
:
Passo 4
Integrar em
usando a regra da potência para integrais. A regra diz que, para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): diferenciar a resposta para checar se recupera o integrando. Usando a regra da cadeia,
portanto está correto.