Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
- Pede para calcular a integral indefinida\n
- A variável de integração é
. Tudo que não for deve ser tratado como constante (nenhuma outra variável aparece aqui).\n - A resposta deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando), mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Observação útil (padrão a reconhecer): quando o integrando tem uma função
elevada a uma potência e aparece também
multiplicando, a substituição
costuma resolver direto. Aqui notamos que a derivada de
é
. Então é natural tentar a substituição\n
Explicando a substituição com calma: se
, então diferenciado em relação a
obtemos\n
o que em forma diferencial se escreve\n
Isso significa que o fator
no integrando pode ser substituído por
.
Passo 3
Fazer a substituição no integral. Com
e
temos\n
Aqui troca-se completamente a variável
por
, transformando a integral em uma integral em potências de
.
Passo 4
Resolver a integral em
usando a regra da potência para primitivas: para
vale\n
No nosso caso
, então\n
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
na primitiva obtida:\n
Passo 6
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta para confirmar que recuperamos o integrando. Calcule\n
que é exatamente o integrando. Está certo.\n
Dica para a prova: ao ver reconheça imediatamente a substituição
— isso salva tempo.
Dica para a prova: ao ver