Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{tg}{ }^{15} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
  • Pede para calcular a integral indefinida\n
\int \tan^{15} x\,\operatorname{sec}^{2} x\,dx.\n
  • A variável de integração é x. Tudo que não for x deve ser tratado como constante (nenhuma outra variável aparece aqui).\n
  • A resposta deve ser uma primitiva (uma função cuja derivada é o integrando), mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Observação útil (padrão a reconhecer): quando o integrando tem uma função f(x) elevada a uma potência e aparece também f'(x) multiplicando, a substituição u=f(x) costuma resolver direto. Aqui notamos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Então é natural tentar a substituição\n
u=\tan x.
Explicando a substituição com calma: se u=\tan x, então diferenciado em relação a x obtemos\n
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x,
o que em forma diferencial se escreve\n
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Isso significa que o fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx no integrando pode ser substituído por du.

Passo 3

Fazer a substituição no integral. Com u=\tan x e du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx temos\n
\int \tan^{15} x\,\operatorname{sec}^{2} x\,dx = \int u^{15}\,du.
Aqui troca-se completamente a variável x por u, transformando a integral em uma integral em potências de u.

Passo 4

Resolver a integral em u usando a regra da potência para primitivas: para n\neq -1 vale\n
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=15, então\n
\int u^{15}\,du=\frac{u^{16}}{16}+C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=\tan x na primitiva obtida:\n
\frac{u^{16}}{16}+C=\frac{\tan^{16}x}{16}+C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta para confirmar que recuperamos o integrando. Calcule\n
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\tan^{16}x}{16}\right)=\frac{1}{16}\cdot 16\,\tan^{15}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x=\tan^{15}x\,\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente o integrando. Está certo.\n
Dica para a prova: ao ver (\text{função})^{n}\cdot \text{derivada da função}çãçã reconheça imediatamente a substituição u=\text{função}çã — isso salva tempo.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{16}x}{16}+C

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