Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A função a integrar é o produto de potências de funções trigonométricas:
, e . - Constantes que não são variáveis de integração (se houver) devem ser tratadas como constantes.
- O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Simplificar a expressão da integranda, combinando potências iguais:
Portanto a integral fica
Passo 3
Procurar uma substituição adequada. Note que a derivada de
é
. Vamos verificar isso rapidamente:
Como aparece exatamente o fator
na integranda, a substituição natural é
Então
Passo 4
Expressar a integral em
. Temos
, mas já simplificamos para
. Usando
e
, isolamos um fator
e obtemos diretamente:
Passo 5
Integrar usando a regra de potência para primitiva: para
,
Aqui
, então
Passo 6
Voltar à variável
substituindo
:
Passo 7
(Verificação rápida) Derivando a resposta para conferir:
que é exatamente a integranda, portanto a primitiva está correta.