Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sec} ^{15} x \operatorname{sec} x \operatorname{tg} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{15} x \;\operatorname{sec} x\;\tan x\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função a integrar é o produto de potências de funções trigonométricas: \operatorname{sec}^{15} x, \operatorname{sec} x e \tan x.
  • Constantes que não são variáveis de integração (se houver) devem ser tratadas como constantes.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Simplificar a expressão da integranda, combinando potências iguais:
\operatorname{sec}^{15} x \cdot \operatorname{sec} x \cdot \tan x = \operatorname{sec}^{16} x \tan x.
Portanto a integral fica
\int \operatorname{sec}^{16} x \tan x\,dx.

Passo 3

Procurar uma substituição adequada. Note que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Vamos verificar isso rapidamente:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Como aparece exatamente o fator \operatorname{sec} x\tan x na integranda, a substituição natural é
u=\operatorname{sec} x.
Então
du = \operatorname{sec} x\tan x\,dx.

Passo 4

Expressar a integral em u. Temos \operatorname{sec}^{16} x\tan x\,dx = (\operatorname{sec}^{15} x)\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx, mas já simplificamos para \operatorname{sec}^{16} x\tan x\,dx. Usando u=\operatorname{sec} x e du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx, isolamos um fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx e obtemos diretamente:
\int \operatorname{sec}^{16} x\tan x\,dx = \int u^{16}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra de potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=16, então
\int u^{16}\,du=\frac{u^{17}}{17}+C.

Passo 6

Voltar à variável x substituindo u=\operatorname{sec} x:
\frac{u^{17}}{17}+C=\frac{\operatorname{sec}^{17} x}{17}+C.

Passo 7

(Verificação rápida) Derivando a resposta para conferir:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sec}^{17} x}{17}\right)=\operatorname{sec}^{16} x\cdot\operatorname{sec} x\tan x=\operatorname{sec}^{16} x\tan x,
que é exatamente a integranda, portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^{17} x}{17}+C

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