Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin (x)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}.
    Observação importante (não resolvo ainda): para a expressão real a raiz quadrada \sqrt{\sin(x)} exige \sin(x)>0; a primitiva que encontrarmos valerá em intervalos onde isso ocorre (ex.: (0,\pi) mais partes periódicas).

Passo 2

Estratégia inicial (sem cálculo ainda): aqui temos \cos(x) multiplicando uma função de \sin(x). Isso sugere usar a substituição u=\sin(x) porque sua derivada é du=\cos(x)\,dx. A substituição transforma a integral em uma integral em u mais simples.

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u=\sin(x).
Então calculo o diferencial:
du=\cos(x)\,dx.
Portanto \cos(x)\,dx = du. Substituindo na integral original, obtemos uma integral em u:
\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}}.

Passo 4

Agora vou integrar em u. Reescrevo a integranda usando potência:
\frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-\tfrac{1}{2}}.
Usarei a regra básica de potenciais para integrais: se n\neq -1 então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, portanto
\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{u^{-\tfrac{1}{2}+1}}{-\tfrac{1}{2}+1}+C = \frac{u^{\tfrac{1}{2}}}{\tfrac{1}{2}}+C.
Como \dfrac{1}{\tfrac{1}{2}}=2, isso dá
\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = 2\,u^{\tfrac{1}{2}}+C = 2\sqrt{u}+C.

Passo 5

Volto à variável x substituindo u=\sin(x). Assim a primitiva fica
F(x)=2\sqrt{\sin(x)}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação) para confirmar: calculo F'(x).
Usando regra da cadeia, se F(x)=2(\sin(x))^{1/2} então
F'(x)=2\cdot \tfrac{1}{2}(\sin(x))^{-1/2}\cdot\cos(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta (em intervalos onde \sin(x)>0).

Passo 7

Comentário final de interpretação: a resposta é válida em intervalos onde \sin(x)>0 (por exemplo (0,\pi) e intervalos análogos por periodicidade). Se você estiver trabalhando com valores complexos, a raiz pode ser estendida, mas para provas geralmente consideramos a solução real em intervalos onde a integranda está bem definida.

Resposta

2\sqrt{\sin(x)}+C

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