Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que .
Observação importante (não resolvo ainda): para a expressão real a raiz quadradaexige ; a primitiva que encontrarmos valerá em intervalos onde isso ocorre (ex.: mais partes periódicas).
Passo 2
Estratégia inicial (sem cálculo ainda): aqui temos
multiplicando uma função de
. Isso sugere usar a substituição
porque sua derivada é
. A substituição transforma a integral em uma integral em
mais simples.
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Então calculo o diferencial:
Portanto
. Substituindo na integral original, obtemos uma integral em
:
Passo 4
Agora vou integrar em
. Reescrevo a integranda usando potência:
Usarei a regra básica de potenciais para integrais: se
então
Aqui
, portanto
Como
, isso dá
Passo 5
Volto à variável
substituindo
. Assim a primitiva fica
Passo 6
Verificação rápida (derivação) para confirmar: calculo
.
Usando regra da cadeia, se então
Usando regra da cadeia, se
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta (em intervalos onde
).
Passo 7
Comentário final de interpretação: a resposta é válida em intervalos onde
(por exemplo
e intervalos análogos por periodicidade). Se você estiver trabalhando com valores complexos, a raiz pode ser estendida, mas para provas geralmente consideramos a solução real em intervalos onde a integranda está bem definida.