Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar (integrando) é
. - A variável de integração é
.
O que se pede: - Encontrar uma primitiva (anticomputação) da função, ou seja, uma expressão cuja derivada é o integrando, e acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a parte fracionária numa forma de potência, que facilita aplicar regras de integração. Note que
Portanto o integrando fica mais simples de manipular:
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Também podemos separar constantes multiplicativas (não há aqui constantes multiplicativas além de 1).
Passo 4
Apresento a regra básica que vamos usar (regra da potência):
para qualquer ,
para qualquer
Explicação rápida dessa regra: se diferenciarmos
obtemos
, logo a derivada da direita é
, portanto a antiderivada está correta. Observação: o caso
dá
, que é uma exceção à forma acima.
Passo 5
Aplique a regra da potência ao primeiro termo
. Aqui
, então
. Assim,
(Quando somarmos as integrais podemos juntar as constantes em uma só.)
Passo 6
Agora aplique a regra ao segundo termo
. Aqui
. Então
e
Voltando à forma de fração,
, logo
Passo 7
Somando as duas integrais (e reunindo as constantes
e
numa única constante
), obtemos a primitiva geral:
Passo 8
Verificação rápida (bom hábito na prova): diferencie o resultado
.
-
. -
.
Somando, voltamos ao integrando. Certo!