Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar (integrando) é x+\dfrac{1}{x^{3}}.
  • A variável de integração é x.
    O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (anticomputação) da função, ou seja, uma expressão cuja derivada é o integrando, e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a parte fracionária numa forma de potência, que facilita aplicar regras de integração. Note que
\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}.
Portanto o integrando fica mais simples de manipular:
x+\frac{1}{x^{3}} = x + x^{-3}.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\left(x + x^{-3}\right)\,dx = \int x\,dx + \int x^{-3}\,dx.
Também podemos separar constantes multiplicativas (não há aqui constantes multiplicativas além de 1).

Passo 4

Apresento a regra básica que vamos usar (regra da potência):
para qualquer n \neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação rápida dessa regra: se diferenciarmos \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos (n+1)\dfrac{x^{n}}{n+1}=x^{n}, logo a derivada da direita é x^n, portanto a antiderivada está correta. Observação: o caso n=-1 \int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C, que é uma exceção à forma acima.

Passo 5

Aplique a regra da potência ao primeiro termo x. Aqui x = x^{1}, então n=1. Assim,
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^{2}}{2} + C_1.
(Quando somarmos as integrais podemos juntar as constantes em uma só.)

Passo 6

Agora aplique a regra ao segundo termo x^{-3}. Aqui n=-3. Então n+1=-2 e
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2}x^{-2} + C_2.
Voltando à forma de fração, x^{-2} = \dfrac{1}{x^{2}}, logo
\int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2x^{2}} + C_2.

Passo 7

Somando as duas integrais (e reunindo as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva geral:
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito na prova): diferencie o resultado \dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{2x^{2}}+C.
  • \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x.
  • \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{2x^{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}.
    Somando, voltamos ao integrando x+\dfrac{1}{x^{3}}. Certo!

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2x^{2}}+C

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