Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Vou explicar essa técnica de forma didática:
Se tivermos uma integral da forma
então podemos definir a nova variável
e obter
o que transforma a integral em
que normalmente é mais simples. Isso funciona porque é o “inverso” do Teorema da cadeia: derivar uma função composta dá
, e integrar a forma composta com o fator
recupera
.
Passo 3
Identificamos a parte interna da composição na integranda:
parece ser uma boa escolha para
. Então façamos a substituição
Agora calculamos
em termos de
:
Isolando
(porque esse fator aparece na integranda), temos
Passo 4
Agora substituímos na integral original. A parte
vira
e
vira
. Assim:
Aqui apenas reescrevemos a integral em termos de
, fatorando a constante
para fora da integral.
Passo 5
Agora integramos em
. Sabemos (ou lembramos) que a primitiva da função cosseno é o seno, isto é:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
(fazendo a “substituição inversa”
), obtemos a primitiva da integral original:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta encontrada devemos recuperar a integranda. Derivando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Tudo confere.