Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x^{2} \cos \left(x^{3}+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2} \cos\bigl(x^{3}+7\bigr)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a integranda é }x^{2}\cos\bigl(x^{3}+7\bigr)\quad\text{e queremos uma primitiva (antiderivada).}é

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Vou explicar essa técnica de forma didática:
Se tivermos uma integral da forma
\int f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)\,dx,
então podemos definir a nova variável \,u=u(x)\, e obter
du = u'(x)\,dx,
o que transforma a integral em
\int f(u)\,du,
que normalmente é mais simples. Isso funciona porque é o “inverso” do Teorema da cadeia: derivar uma função composta dá f'(u(x))u'(x), e integrar a forma composta com o fator u'(x) recupera f(u).

Passo 3

Identificamos a parte interna da composição na integranda: \bigl(x^{3}+7\bigr) parece ser uma boa escolha para u. Então façamos a substituição
u = x^{3}+7.
Agora calculamos du em termos de dx:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx (porque esse fator aparece na integranda), temos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Agora substituímos na integral original. A parte \cos\bigl(x^{3}+7\bigr) vira \cos(u) e x^{2}\,dx vira \tfrac{1}{3}\,du. Assim:
\int x^{2}\cos\bigl(x^{3}+7\bigr)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Aqui apenas reescrevemos a integral em termos de u, fatorando a constante \tfrac{1}{3} para fora da integral.

Passo 5

Agora integramos em u. Sabemos (ou lembramos) que a primitiva da função cosseno é o seno, isto é:
\frac{d}{du}\bigl(\sin(u)\bigr)=\cos(u).
Portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original x (fazendo a “substituição inversa” u=x^{3}+7), obtemos a primitiva da integral original:
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u)+C = \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+7\bigr)+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta encontrada devemos recuperar a integranda. Derivando \tfrac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+7\bigr) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+7\bigr)\right] = \frac{1}{3}\cos\bigl(x^{3}+7\bigr)\cdot 3x^{2} = x^{2}\cos\bigl(x^{3}+7\bigr),
que é exatamente a integranda. Tudo confere.

Resposta

\dfrac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+7\bigr)+C

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