Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. Vou interpretar como a função cosecante, isto é . - A variável de integração é
. - O resultado deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) da função, com constante de integração
.
Passo 2
Primeira transformação útil: fazer uma substituição linear para eliminar o argumento
e aplicar a regra da cadeia de forma limpa.
Escolho a substituição
Calculando o diferencial:
Substituindo na integral:
Agora o problema reduziu-se a calcular
.
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso usamos a identidade trigonométrica
Logo
Isso é conveniente porque a derivada de
envolve
. Vamos fazer a substituição
Então
Agora substituímos na integral:
Integramos o polinômio:
Passo 4
Voltando à integral original, lembrando do fator
que apareceu na Passo 2:
Simplificando os sinais e constantes:
Finalmente substituímos
de volta:
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda.
Calcule de
. Usando a regra da cadeia e
, obtém-se após simplificar exatamente
. Logo a primitiva está correta.
Calcule