Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \operatorname{cossec}^{4}(3-2 x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cossec}^{4}(3-2 x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \operatorname{cossec}^{4}(3-2x). Vou interpretar \operatorname{cossec} como a função cosecante, isto é \operatorname{cossec}(u)=\csc(u)=\dfrac{1}{\sin(u)}.
  • A variável de integração é x.
  • O resultado deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) da função, com constante de integração C.

Passo 2

Primeira transformação útil: fazer uma substituição linear para eliminar o argumento 3-2x e aplicar a regra da cadeia de forma limpa.
Escolho a substituição
t = 3-2x.
Calculando o diferencial:
dt = -2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\tfrac{1}{2}\,dt.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{cossec}^{4}(3-2 x)\,dx = \int \csc^{4}(t)\left(-\tfrac{1}{2}\,dt\right) = -\tfrac{1}{2}\int \csc^{4}(t)\,dt.
Agora o problema reduziu-se a calcular \int \csc^{4}(t)\,dt.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle \int \csc^{4}(t)\,dt. Para isso usamos a identidade trigonométrica
1+\cot^{2}(t)=\csc^{2}(t).
Logo
\csc^{4}(t)=\csc^{2}(t)\cdot\csc^{2}(t)=\csc^{2}(t)\big(1+\cot^{2}(t)\big).
Isso é conveniente porque a derivada de \cot(t) envolve -\csc^{2}(t). Vamos fazer a substituição
u=\cot(t).
Então
du = -\csc^{2}(t)\,dt \quad\Rightarrow\quad -du=\csc^{2}(t)\,dt.
Agora substituímos na integral:
\int \csc^{4}(t)\,dt = \int \csc^{2}(t)\big(1+\cot^{2}(t)\big)\,dt = \int \big(1+u^{2}\big)\,(-du) = -\int \big(1+u^{2}\big)\,du.
Integramos o polinômio:
- \int \big(1+u^{2}\big)\,du = -\left(u+\tfrac{u^{3}}{3}\right)+C = -\cot(t) - \tfrac{1}{3}\cot^{3}(t) + C.

Passo 4

Voltando à integral original, lembrando do fator -\tfrac{1}{2} que apareceu na Passo 2:
-\tfrac{1}{2}\int \csc^{4}(t)\,dt = -\tfrac{1}{2}\Big(-\cot(t)-\tfrac{1}{3}\cot^{3}(t)\Big)+C.
Simplificando os sinais e constantes:
-\tfrac{1}{2}\Big(-\cot(t)-\tfrac{1}{3}\cot^{3}(t)\Big) = \tfrac{1}{2}\cot(t) + \tfrac{1}{6}\cot^{3}(t) + C.
Finalmente substituímos t=3-2x de volta:
\int \operatorname{cossec}^{4}(3-2 x)\,dx = \tfrac{1}{2}\cot(3-2x) + \tfrac{1}{6}\cot^{3}(3-2x) + C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda.
Calcule d/dx de \tfrac{1}{2}\cot(3-2x) + \tfrac{1}{6}\cot^{3}(3-2x). Usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dt}\cot t=-\csc^{2}t, obtém-se após simplificar exatamente \csc^{4}(3-2x). Logo a primitiva está correta.

Resposta

\tfrac{1}{2}\cot(3-2x)+\tfrac{1}{6}\cot^{3}(3-2x)+C

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