Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
converge e, em caso afirmativo, determinar seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- O intervalo de integração é
, ou seja, o problema é impróprio por ter limite superior infinito. - A função integranda é
. - Para todo
tem-se , logo é bem definida e positiva em . - A questão é (1) analisar a convergência da integral imprópria e (2) se convergir, calcular o valor numérico.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar. A integral
é definida como o limite
se esse limite existir finito. Portanto, vamos calcular
e depois tomar
.
Passo 3
Escolha natural de substituição e justificativa. Observa-se que
aparece na integranda, então a substituição
é muito conveniente. Ao derivar, obtém-se
Transformação dos limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Logo
Isso reduz o problema a uma integral de potência simples.
Passo 4
Cálculo da integral com a nova variável. Para
vale a fórmula de potência
Aqui
, então
Aplicando isso aos limites
e
,
Passo 5
Tomando o limite
. Como
quando
, tem-se
. Portanto
Isso mostra que a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Observação alternativa (intuição rápida): a primitiva de
é
, pois
Assim, avaliando a primitiva entre
e
também se obtém
.
Força aí — você já consegue ver que integrais com substituição aparecem muito e são uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.
Força aí — você já consegue ver que integrais com substituição
Resposta
A integral converge e seu valor é
.