Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
\int_{e}^{+\infty} \frac{d x}{x(\ln x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{e}^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^{2}}
converge e, em caso afirmativo, determinar seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O intervalo de integração é [e,+\infty), ou seja, o problema é impróprio por ter limite superior infinito.
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{2}}.
  • Para todo x\ge e tem-se \ln x\ge 1, logo f(x) é bem definida e positiva em [e,+\infty).
  • A questão é (1) analisar a convergência da integral imprópria e (2) se convergir, calcular o valor numérico.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar. A integral \int_{e}^{+\infty} f(x)\,dx é definida como o limite
\int_{e}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{R\to+\infty} \int_{e}^{R} f(x)\,dx,
se esse limite existir finito. Portanto, vamos calcular \int_{e}^{R} \dfrac{dx}{x(\ln x)^{2}} e depois tomar R\to+\infty.

Passo 3

Escolha natural de substituição e justificativa. Observa-se que dx/x aparece na integranda, então a substituição
t=\ln x
é muito conveniente. Ao derivar, obtém-se
dt=\frac{dx}{x}.
Transformação dos limites:
  • Quando x=e, t=\ln e=1.
  • Quando x=R, t=\ln R.
    Logo
\int_{e}^{R}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{t=1}^{t=\ln R}\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Isso reduz o problema a uma integral de potência simples.

Passo 4

Cálculo da integral com a nova variável. Para t\neq -1 vale a fórmula de potência
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int \frac{1}{t^{2}}\,dt=\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-1}}{-1}=-\frac{1}{t}+C.
Aplicando isso aos limites 1 e \ln R,
\int_{1}^{\ln R}\frac{1}{t^{2}}\,dt=\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{\ln R}=-\frac{1}{\ln R}-\Big(-\frac{1}{1}\Big)=1-\frac{1}{\ln R}.

Passo 5

Tomando o limite R\to+\infty. Como \ln R\to+\infty quando R\to+\infty, tem-se \dfrac{1}{\ln R}\to 0. Portanto
\int_{e}^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\lim_{R\to+\infty}\left(1-\frac{1}{\ln R}\right)=1.
Isso mostra que a integral converge e seu valor é 1.

Passo 6

Observação alternativa (intuição rápida): a primitiva de \dfrac{1}{x(\ln x)^{2}} é -\dfrac{1}{\ln x}, pois
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{\ln x}\right)=-\left(-\frac{1}{(\ln x)^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x(\ln x)^{2}}.
Assim, avaliando a primitiva entre e e +\infty também se obtém 1.
Força aí — você já consegue ver que integrais com substituição \,t=\ln x\! aparecem muito e são uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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