Calcule as integrais indefinidas abaixo: \int x \operatorname{cosec} x^{2} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\,\operatorname{cosec} x^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A variável de integração é x.
O integrando é x\cdot\operatorname{cosec}(x^{2}).
Queremos uma primitiva (antiderivada) em função de x, mais a constante de integração C.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha a seguir): a presença de x multiplicando uma função de x^{2} sugere a substituição u=x^{2}, pois du será proporcional a x\,dx. Faço a substituição:
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados obtemos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Agora o problema reduz-se a calcular \int \operatorname{cosec} u\,du.
Passo 3
Vamos calcular \int \operatorname{cosec} u\,du. Existe um truque clássico: multiplicar a integranda por \dfrac{\operatorname{cosec}u+\cot u}{\operatorname{cosec}u+\cot u} para tornar o numerador a derivada do denominador (com sinal). Faça: