Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \operatorname{cosec} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\,\operatorname{cosec} x^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é x\cdot\operatorname{cosec}(x^{2}).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) em função de x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha a seguir): a presença de x multiplicando uma função de x^{2} sugere a substituição u=x^{2}, pois du será proporcional a x\,dx. Faço a substituição:
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados obtemos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original:
\int x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{cosec} u\,du.
Agora o problema reduz-se a calcular \int \operatorname{cosec} u\,du.

Passo 3

Vamos calcular \int \operatorname{cosec} u\,du. Existe um truque clássico: multiplicar a integranda por
\dfrac{\operatorname{cosec}u+\cot u}{\operatorname{cosec}u+\cot u} para tornar o numerador a derivada do denominador (com sinal). Faça:
\int \operatorname{cosec} u\,du = \int \operatorname{cosec} u\cdot\frac{\operatorname{cosec}u+\cot u}{\operatorname{cosec}u+\cot u}\,du = \int \frac{\operatorname{cosec}^{2}u+\operatorname{cosec}u\cot u}{\operatorname{cosec}u+\cot u}\,du.
Agora defino
v=\operatorname{cosec}u+\cot u.
Calculando dv:
\frac{dv}{du} = -\operatorname{cosec}u\cot u - \operatorname{cosec}^{2}u = -\bigl(\operatorname{cosec}^{2}u+\operatorname{cosec}u\cot u\bigr),
ou seja
\bigl(\operatorname{cosec}^{2}u+\operatorname{cosec}u\cot u\bigr)\,du = -dv.
Substituindo isto na integral:
\int \operatorname{cosec} u\,du = \int \frac{-dv}{v} = -\ln|v| + C = -\ln\bigl|\operatorname{cosec}u+\cot u\bigr| + C.
Observação: usando a identidade \bigl(\operatorname{cosec}u-\cot u\bigr)\bigl(\operatorname{cosec}u+\cot u\bigr)=1 obtém-se a forma equivalente
\int \operatorname{cosec} u\,du = \ln\bigl|\operatorname{cosec}u-\cot u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à nossa integral reduzida \dfrac{1}{2}\int \operatorname{cosec}u\,du, substituo o resultado do passo anterior:
\frac{1}{2}\int \operatorname{cosec} u\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\ln|\operatorname{cosec}u+\cot u|\bigr) + C = -\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{cosec}u+\cot u\bigr| + C.
Agora volto à variável x usando u=x^{2}. Assim
\int x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\,dx = -\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{cosec}(x^{2})+\cot(x^{2})\bigr| + C.
Usando a forma equivalente mencionada acima, também posso escrever
\int x\,\operatorname{cosec}(x^{2})\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{cosec}(x^{2})-\cot(x^{2})\bigr| + C.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar confiante): derivando
F(x) = -\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{cosec}(x^{2})+\cot(x^{2})\bigr|
obtém-se, pela regra da cadeia, exatamente x\operatorname{cosec}(x^{2}). Isto confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{cosec}(x^{2})-\cot(x^{2})\bigr|+C

Exercícios relacionados