Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin 3 x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx.
Vamos usar a técnica de transformação de produto em soma.

Passo 2

A fórmula de produto em soma é
\sin A\cos B = \frac{1}{2}\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].

Passo 3

Aplicando para A=3x e B=5x, temos
\sin(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2}\bigl[\sin(8x)+\sin(-2x)\bigr] = \frac{1}{2}\bigl[\sin(8x)-\sin(2x)\bigr].

Passo 4

Substituindo na integral, integraremos termo a termo:
\int \sin(3x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\int\bigl[\sin(8x)-\sin(2x)\bigr]\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{8}\cos(8x)+\frac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)+C.

Passo 5

Bast a simplificar os coeficientes:
-\frac{1}{16}\cos(8x)+\frac{1}{4}\cos(2x)+C.

Resposta

-\frac{1}{16}\cos(8x)+\frac{1}{4}\cos(2x)+C.

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