Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin ^{3}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando identidade de potência e substituição. Vamos usar a substituição u=2x+1 e a identidade
\sin^{3}u=\sin u\,(1-\cos^{2}u).

Passo 2

Fazendo u=2x+1, temos du=2\,dx, ou seja dx=\tfrac{du}{2}. Assim
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx =\frac12\int \sin^{3}u\,du.

Passo 3

Reescrevemos \sin^{3}u pela identidade
\sin^{3}u=\sin u\,(1-\cos^{2}u),
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\int \sin^{3}u\,du =\int \sin u\,du \;-\;\int \sin u\,\cos^{2}u\,du.
No primeiro termo \int \sin u\,du=-\cos u. No segundo, faremos t=\cos u, dt=-\sin u\,du.

Passo 4

Com t=\cos u e dt=-\sin u\,du,
\int \sin u\,\cos^{2}u\,du =-\int t^{2}\,dt =-\frac{t^{3}}{3} =-\frac{\cos^{3}u}{3}.
Portanto
\int \sin^{3}u\,du =-\cos u - \Bigl(-\frac{\cos^{3}u}{3}\Bigr) =-\cos u + \frac{\cos^{3}u}{3}.

Passo 5

Voltando a x e lembrando do fator \tfrac12,
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx =\frac12\Bigl(-\cos(2x+1)+\frac{\cos^{3}(2x+1)}{3}\Bigr)+C =-\frac{\cos(2x+1)}{2}+\frac{\cos^{3}(2x+1)}{6}+C.

Resposta

-\frac{\cos(2x+1)}{2} \;+\;\frac{\cos^{3}(2x+1)}{6}+C.

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