Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \operatorname{tg}\left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \,\operatorname{tg}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois o argumento de \operatorname{tg} é x^{2}+1 e sua derivada é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int x \,\tan\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \tan(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos em u. Sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{2}\int \tan(u)\,du = -\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = x^{2}+1. Portanto a primitiva é
-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr| + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr| + C

Exercícios relacionados