Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x \operatorname{tg}\left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,\operatorname{tg}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é o método de substituição (u-substituição) e a integral da função \tan(u).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1
de onde
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x\,\tan(x^{2}+1)\,dx = \int \tan(u)\,\bigl(\tfrac{1}{2}\,du\bigr) = \tfrac{1}{2}\,\int \tan(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.
Portanto
\tfrac{1}{2}\,\int \tan(u)\,du = -\tfrac{1}{2}\,\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+1 e obtemos
-\tfrac{1}{2}\,\ln\bigl|\cos(x^{2}+1)\bigr| + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\,\ln\bigl|\cos(x^{2}+1)\bigr| + C

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